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Introduction

Cette page a pour objectif de présenter les principaux objets mathématiques en s'appuyant pour les construire sur la théorie des ensembles. Pour certains, par exemple les fonctions, qui nécessitent une explication approfondie, vous serez envoyés sur une autre page web, qu'il vaut mieux consulter avant de lire la suite du cours.

Si chaque objet mathématique sera défini comme un ensemble, il faut bien garder à l'esprit que ce n'est pas l'ensemble en tant que tel qui importe, mais avant tout les propriétés du nouvel objet. A titre d'exemple, l'essentiel pour un couple $(a, b)$ est d'avoir $(a, b) = (a', b') \Leftrightarrow a = a' \land b = b'$ ce que l'on peut obtenir avec les ensembles comme on va le voir.

Produits de deux ensembles et élément de ces produits

Couples, triplets, n-tuples

Prenons l'exemple d'André, un pilote d'avion et de Bernard son co-pilote. On peut les voir de deux manières différentes : soit comme deux personnes chargées de diriger l'avion, soit comme un couple pilote/co-pilote. Dans la première notion, on considère les deux individus comme un tout, cela correspond à la paire ${A; B}$ , tandis que dans la seconde, chacun a une fonction attribuée, c'est le couple $(A, B)$ . La différence tient dans le fait que si André et Bernard échangent leurs fonctions, il formeront toujours le même ensemble de deux hommes ${A; B}$ , mais seront par contre le couple pilote/co-pilote $(B, A)$ . Contrairement à la notion d'ensemble, pour que deux couples soit égaux, il faut donc non seulement qu'ils aient les même "éléments" mais aussi que chacun de ces "éléments" ait la même "place" dans les deux couples. Voyons comment construire ces couples, triplets, ainsi que les autres objets du même genre avec davantage de "places".

Soient $a$ et $b$ deux ensembles. Le couple $(a, b)$ est l'ensemble défini par $(a, b) = {{a}; {a; b}}$ , construit en utilisant trois fois l'axiome de la paire. Si $a'$ et $b'$ sont des ensembles, on a alors l'équivalence $(a, b) = (a', b') \Leftrightarrow a = a' \land b = b'$ . Pour le démontrer dans le sens non trivial, on a utilise plusieurs fois l'axiome d'extensionnalité.

De la même façon, si $a, b, c$ sont trois ensembles, le triplet $(a, b, c)$ est l'ensemble défini à l'aide de la notion de couple par $(a, b, c) = ((a, b), c)$ . On démontre que si $a', b', c'$ sont des ensembles, on a : $(a, b, c) = (a', b', c') \Leftrightarrow a = a' \land b = b' \land c = c'$ .

Enfin, on peut construire un n-tuples, c'est à dire si $a_{1}, a_{2}, a_{3} ... a_{n}$ sont des ensembles, on pose $(a_{1} a_{2} a_{3} ... a_{n}) = ((a_{1} a_{2} a_{3} ... a_{n - 1}), a_{n})$ . A nouveau l'égalité deux n-tuples est obtenue si et seulement si on a l'égalité de chaque coordonnée correspondante.

Produits cartésiens

Nous allons cette fois prendre l'exemple de classes de collège, dont les noms seront formés d'un des nombres 6, 5, 4, 3 complétés par une lettre de A à C. En posant $X = {6; 5; 4; 3}$ et $Y = {A; B; C}$ , on voit que chaque classe peut être désignée par un couple $(x, y)$ , où $x$ et $y$ sont respectivement élément de $E$ et $F$ . Ainsi, la classe de 4ème C est représentée par le couple $(4, C)$ . L'ensemble de toutes les classes du collège est donc l'ensemble de ces couples on le note $E \times F$ , c'est le produit cartésien de E et F qui comporte 4 × 3 = 12 éléments : $E \times F = {(6, A); (6, B); (6, C); (5, A); (5, B); (5, C); (4, A); (4, B); (4, C); (3, A); (3, B); (3, C)}$ . Ici, le cas est relativement simple, en réalité un produit cartésien peut comporter plusieurs ensembles (les éléments peuvent être des couples, triplets etc) qui peuvent eux-même avoir une infinité d'éléments.

Restons à notre cas simplifié pour le moment et prenons une classe de collège, disons la 5ème B. On se souvient que $(5, B)$ est en fait l'ensemble ${{5}; {5; B}}$ . Or ${5}$ et ${5; B}$ sont des éléments de℘ $℘ (X \cup Y)$ et par conséquent ${{5}; {5; B}}$ est élément de $℘ (℘ (X \cup Y))$ . Plus généralement, tous les couples $(x, y)$ sont éléments de $℘ (℘ (X \cup Y))$ et donc $X \times Y$ est inclus dans $℘ (℘ (X \cup Y))$ . Le schéma d'axiomes de séparation permet alors de construire cet ensemble...

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, on appelle produit cartésien de $E$ et $F$ l'ensemble noté $E \times F$ , défini par $E \times F = \{z \in ℘ (℘ (\cup \cup F))| \exists x \in E \exists y \in F z = (x, y)\}$ .

Le produit cartésien de $n$ ensembles $E_{1}, E_{2}, E_{3} ... E_{n}$ est l'ensemble des n-tuples que l'on peut faire avec ces ensembles. Il est naturellement défini par récurrence : $E_{1} \times E_{2} \times E_{3} \times . . . \times E_{n - 1} \times E_{n}$ . Mais on verra plus bas que l'on peut même faire des "produits infinis"...

Lorsque l'on effectue un produit cartésien avec un même ensemble, on peut noté l'ensemble obtenu de façon plus simple en utilisant un exposant : ainsi, si $n$ est un entier naturel, et $E$ un ensemble, on a :

$E^{n} = \underset{n fois}{\underset{⏟}{E \times E \times E \times E \times ... \times E}}$

Les fonctions

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est un objet mathématique qui associe à des éléments $x \in E$ un unique élément de $F$ noté $f (x)$ .

Produit d'une famille d'ensemble et axiome du choix

Présentation

Nous avons vu plus haut la définition de produits cartésiens, nous allons maintenant élargir cela en faisant des "produits infinis", c'est-à-dire avec une infinité d'ensembles. Mais pour manipuler ces ensembles, il est d'abord nécessaire de les "indexer" à l'aide d'un ensemble $I$ . La définition d'un produit d'ensembles sera ensuite l'occasion pour nous de parler d'un célèbre axiome, qui n'est pas présent dans la théorie des ensembles ZF, mais que l'on peut ajouté sans changer la consistance : on obtient la théorie des ensemble ZFC, le C étant pour "axiome du Choix".

Famille d'ensembles

Une familles d'ensembles est informellement un "ensemble d'ensembles". Pour définir cela, il faut disposer d'un ensemble $I$ qui les "indexe". Utilisons les définitions de fonction vue plus haut : une famille d'ensembles indéxée par un ensemble $I$ est une application $f$ de domaine $I$ , et d'image "l'ensembles des ensembles indexés". L'axiome de remplacement permet de définir cette image en remplaçant les éléments de $I$ par leur "image" via la fonctionnelle.

On voit ainsi que la famille d'ensembles ${ℝ^{1}; ℝ^{2}; ℝ^{3}; ℝ^{4}; . . .}$ peut ainsi être indéxée par l'ensemble $ℕ^{*} = {1; 2; 3; 4; . . .}$ en considérant $f : n \mapsto ℝ^{n}$ .

Produit d'une famille d'ensembles

Imaginons que l'on veuille faire le produit de la famille d'ensembles suivante : l'ensemble des entiers naturels multiples de 2, multiples de 3, multiples de 4 etc Il est clair que l'on peut indexer cette famille avec l'ensemble $I = ℕ \ {0; 1}$ des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 : l'application en question est alors celle qui à tout élément $k$ de $I$ associe l'ensemble des multiples de $k$ : $\{n \in ℝ| \exists m \in ℝ n = k m\}$ .Le produit de cette famile d'ensemble donnerait un ensemble de ce genre : {(0,0,0,0,...), (2,0,0,0,...), (4,0,0,0,...), (6,0,0,0,...) ... (0,3,0,0,...), (2,3,0,0,...), (4,3,0,0,...), (6,3,0,0,...) ... (0,6,0,0,...), (2,6,0,0,...), (4,6,0,0,...), (6,6,0,0,...) ... ... (0,0,4,0,...),... ... (0,0,8,0,...),... ... }

Même si cette écriture permet de donner une idée de cet ensemble, elle est plutôt incorrecte... En effet, on a vu pour le produit cartésien que le i-ème élément dans le n-tuple permettait de savoir qu'il provenait du i-ème ensemble du produit. Par contre, dans ce qu'on pourrait appeler des "n-tuples infinis", on n'a plus cette notion de "place" (bien qu'ici le fait que les ensembles puissent être bien ordonné permet de s'y retrouver). Ainsi d'une façon un peu moins incorrecte, on aurait pu par exemple remplacer (8,27,16,75,36,14,32,9,...) par {(2,8), (3,27), (4,16), (5,75), (6,36), (7,14), (8,32), (9,9),...} sans changer la structure du produit. Cela permet alors de voir que le 8 vient de l'ensemble des multiples de 2, que le 27 vient de l'ensemble des multiples de 3, que le 16 vient de l'ensemble des multiples de 4 etc Or on remarque que ces couples constituent exactement une application de $I$ dans $ℝ$ ... Il ne reste plus qu'à choisir les applications que l'on veut via l'axiome de séparation (celles où l'image de $i$ appartient à l'ensemble des multiples de i), correspondant chacune à un élément du produit...

Le produit d'une famille d'ensemble f indexée par un ensemble $I$ est définie par : $\prod_{i \in I} f (i) = \{g| \forall i \in I g (i) \in f (i)\}$ où l'on applique l'axiome de séparation sur l'ensemble des applications $g$ de $I$ dans $⋃ f (I)$ .

Remarque : Si $I$ est fini, le nombre d'ensembles indexés l'est aussi, et on retrouve un produit cartésien (ou du moins un produit ayant les même propriétés).

L'axiome du choix

Soit $E$ un ensemble. On appelle fonction de choix sur $E$ une fonction $f : E \ {\emptyset} \mapsto ⋃ E$ telle que $\forall x \in E \ {\emptyset}, f (x) \in x$ ou dit autrement, qui associe à toute élément non vide de $E$ un de ses éléments. L'axiome du choix affirme que l'on peut trouver une telle fonction pour n'importe quel ensemble. Il existe plusieurs formulations équivalentes :

Tout ensemble $E$ admet une fonction de choix
Le produit d'une famille d'ensemble indexée par un ensemble non vide est non vide
Le Théorème de Zermelo
Le Lemme de Zörn

Les deux dernières sont expliquées dans la partie ensemble ensembles ordonnés. Quant à l'équivalence des deux premières, on peut la démontrer brièvement. Supposons d'abord l'axiome du choix vérifié. Soit $f$ une famille d'ensembles indexée par un ensemble non vide $I$ et $c$ une fonction de choix sur $f (I)$ . Pour tout élément $i \in I$ , $f (i)$ est élément de $f (I)$ , et on peut donc prendre son image par la fonction de choix $c$ , qui est telle que $c (f (i)) \in f (i)$ . Autrement dit, l'application $(c \circ f) : I \to ⋃ f (I)$ est élément du produit de la famille d'ensembles qui est donc non vide. Réciproquement, si la deuxième proposition est vérifiée, prenons un ensemble $E$ quelconque, et posons $f = {Id}_{E \ {\emptyset}}$ qui n'est autre qu'une famille d'ensemble $E \ {\emptyset}$ indexée par $E \ {\emptyset}$ (chaque élément de $E \ {\emptyset}$ "s'auto-indexe"). Prenons un élément $g$ de leur produit, qui existe puisque ce produit est non vide, on vérifie alors que pour tout $i \in E \ {\emptyset}, g (i) \in f (i) = i$ . Ainsi $g$ est une fonction de choix sur $E$ .

L'axiome du choix est indécidable dans ZF, c'est-à-dire qu'il ne peut être démontré ou réfuté à partir des axiomes de la théorie ZF. L'ajouter lui ou sa négation ne change rien à la consistance de cette théorie. Autrefois refusé à cause des propriétés contraires à l'intuition (paradoxe de Banach-Tarski) ou d'objet non explicitement constructible (bon ordre sur ℝ) qu'il entraîne, il se révèle fondamental dans la démonstration de certaines propositions mathématiques (existence de base dans les espaces vectoriels, Théorème de Krull, prolongement d'un filtre en un ultrafiltre)... On l'adopte donc dans la théorie des ensembles, formant ainsi le système d'axiomes ZFC.

Relations sur un ensemble

Définitions

Vous connaissez sûrement le jeu « feuille, ciseaux, caillou », où deux joueurs s'affrontent en mimant avec la main un de ces 3 objets. Lorsque les deux joueurs font le même mime, il y a match nul, dans le cas contraire, les victoires sont faites ainsi : la feuille gagne contre le caillou (en l'enveloppant), le caillou gagne contre les ciseaux (en les cassant), les ciseaux gagnent contre la feuille (en la coupant). Si on prend deux objets x et y distincts dans l'ensemble des objets mimables, on peut être capable de dire si l'un des deux est plus fort que l'autre : on a ce qu'on appelle une relation sur cet ensemble. Ainsi, en notant par exemple $R$ cette relation, on écrit $x R y$ pour signifier que l'objet $x$ gagne contre l'objet $y$ . Voyons comment exprimer cette notion en terme d'ensemble...

L'ensemble d'étude est donc celui des 3 objets, notons le $E$ . En prenant des éléments de cet ensemble, on peut former plusieurs couples vainqueur/vaincu. Si $R$ est l'ensemble de tous ces couples (qui existe car inclus dans $℘ (E \times E)$ , alors dire que $x$ gagne contre $y$ signifie que $(x, y) \in R$ .

Si $E$ un ensemble, on alors :

$R$ est une relation sur $E$ ⇔ $R \subset E^{2}$
$\forall (x, y) \in E^{2}$ on peut noter $x R y$ à la place de $(x, y) \in R$ .

Pour définir une relation sur un ensemble $E$ , on utilise donc le schéma d'axiomes de séparation puisqu'elle est incluse dans $E^{2}$ . L'ensemble des relations sur un ensemble est l'ensemble $℘ (E^{2})$ . Parmi ces relations, certaines possèdent des propriétés particulières : ce sont les relations d'équivalence et les relations d'ordre...

Les relations d'équivalence

Prenons maintenant la relation "a un prénom commençant par la même lettre que" que l'on notera par exemple @, et qui sera définie sur un ensemble $I$ d'individus, disons Arnaud, Bernard, Adeline, Xavier, Barbara, Arthur, Anne. Rappelons donc que l'on peut écrire "Bernard @ Barbara" mais que "Arthur @ Xavier" est faux. L'intérêt de ce genre de relation est qu'elle permet de regrouper les éléments de l'ensemble qui ont les mêmes caractéristiques, par exemple ici, on note A l'ensemble des éléments x de I tel que x @ Anne. Anne fait évidemment partie de A, mais on y trouve aussi Arthur, Arnaud et Adeline. Notons que l'on aurait obtenu le même ensemble en partant par exemple de Arnaud, mais que en partant de Barbara on aurait obtenu un ensemble B différent de A. En fait, on obtient trois sous-ensembles disjoints de I appelés "classes d'équivalence" : les ensembles d'individus dont les prénoms commencent par A, celui pour lesquels ils commencent par B et enfin celui dont les prénoms commencent par X, dont on remarque qu'il ne contient qu'un seul élément : Xavier ! Ces trois ensembles forment un nouvelle ensemble appelé "ensemble quotient de I pour la relation @".

Soit $E$ un ensemble et $R$ une relation sur cette ensemble. On dit que $R$ est une relation d'équivalence sur $E$ si et seulement si elle possède les trois propriétés suivantes :

Réflexivité : $\forall x \in E x R x$
Symétrie : $\forall (x, y) \in E^{2} x R y \Rightarrow y R x$
Transitivité : $\forall (x, y) \in E^{2} x R y \land y R z \Rightarrow x R z$

Pour tout élément $a \in E$ , on appelle classe d'équivalence de $a$ pour la relation $R$ l'ensemble noté :

$\bar{a} = \{x \in E| x R a\}$ (elle est donc définie par l'axiome de séparation). Notons que le sens de la notation de $x R a$ ou $a R x$ n'a aucune importance, puisque $R$ est symétrique. Remarquons aussi que a est élément de sa propre classe d'équivalence, de part la réfléxivité de $R$ .

L'ensemble des classes d'équivalence des éléments de $E$ pour la relation $R$ , noté $E / R$ est appelé ensemble quotient de $E$ pour la relation $R$ . Il se contruit une nouvelle fois grâce aux axiomes des parties et de séparation : $E / R = \{X \in ℘ (E)| \exists x \in E X = \bar{x}\}$ . Cet ensemble a pour propriété de former une partition de $E$ , c'est-à-dire que tout élément de $E$ est dans une classe d'équivalence (à la limite il est tout seul dans sa classe d'équivalence) et que deux classes d'équivalence distinctes ont une intersection vide.

En effet, soit $a$ et $b$ deux éléments de $E$ , tels que $\overset{}{a} \neq \overset{}{b}$ . Supposons qu'il existe un élément $x \in E$ tel que $x \in \bar{a} \cap \bar{b}$ , on a $x R a$ et $x R b$ donc $a R b$ par transitivité. Ainsi, pour tout élément $a' \in \bar{a}$ , comme $a' R a$ et $a R b$ , $a' R b$ du fait de la transitivité de $R$ donc $a' \in \bar{b}$ , et donc $\bar{a} \subset \bar{b}$ . De la même façon on montrerait que $\bar{b} \subset \bar{a}$ et donc que $\bar{a} = \bar{b}$ . Or on a dit que ces classes d'équivalence étaient distinctes, cette contradiction nous permet d'affirmer que $\bar{a}$ et $\bar{b}$ n'ont aucun élément en commun !

Les relations d'ordre

Comme leurs noms l'indiquent, ces relations permettent de d'ordonner les éléments d'un ensemble. Elles sont expliquées en détail sur la page Ensembles ordonnés.

Conclusion

Nous avons vu sur cette page un certain nombre d'objets mathématiques classiques, dont nous nous sommes rendus compte qu'ils étaient définissables dans le cadre de la théorie des ensembles.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : dimanche 19 août 2007