Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : lundi 20 août 2007
Une fonction de dans est un objet mathématique qui associe à des éléments un unique élément de noté . On dit que est l'image de par et réciproquement, est un antécédent de . On note la fonction de la façon suivante :
Illustrons la notion de fonction : la fonction inverse (de dans ) est celle qui à un nombre associe son inverse . Ainsi Il est important de noter que pour une fonction de dans donnée, tout élément de n'a pas forcément une image, et tout élément de n'a pas forcément un et un seul antécédent. Ainsi pour la fonction inverse, le nombre 0 n'a ni image, ni antécédent. De même pour la fonction carré (de dans ) qui à chaque nombre associe son carré, le nombre 4 à deux antécédents (-2 et 2), mais le nombre -5 n'en a aucun !
La notion intuitive de fonction peut être définie formellement dans le cadre de la théorie des ensembles, en la représentant comme un triplet . L'ensemble est appelé ensemble de départ de , et ensemble d'arrivée. Quant à , il s'agit du graphe de , c'est-à-dire l'ensemble des couples .
Définissons l'ensemble des graphes des fonctions de dans , avant de définir une fonction :
( est défini par l'axiome de séparation : c'est ensemble des
ensembles de couples , où pour chaque , le est unique : c'est .)
est une fonction de dans ⇔
On peut aussi définir l'ensemble des fonctions de dans , c'est l'ensemble , où est l'ensemble des graphes défini plus haut...
On appelle domaine de et on note ou , l'ensemble des éléments de qui ont une image par . On parle aussi parfois d'ensemble de définition de la fonction, notamment pour les fonctions numériques. Dans le même ordre d'idée, l'image de , notée , est l'ensemble des éléments de qui ont un antécédent par . Enfin l'image réciproque de est l'ensemble des antécédents des éléments de par :. On défini évidemment tous ces ensembles par l'axiome de séparation...
Soit , alors la restriction de à est la fonction , avec . Une restriction intéressante est celle de à , c'est-à-dire telle que tout élément aie une image par : la fonction obtenue est alors appelée une application. Comme pour les fonctions, on peut définir l'ensemble des applications de dans , il suffit d'utiliser l'axiome de sélection avec pour propriété . Parmi elles, l'application identique ou identité est l'application d'un ensemble dans lui-même qui à chaque élément associe ce même élément, on la note .
Soient et deux fonctions. Alors on définie la composée des deux fonctions et , notée par :
Autrement dit, pour trouver l'image d'un élément par on prend d'abord son image par (si elle existe), disons qui appartient à . Puis on prend l'image de cet élément par (toujours sous réserve de son existence), soit . Là encore, on peut construire cette fonction en terme ensembliste, .
On voit que la difficulté de composer réside dans l'existence ou non d'image, c'est pourquoi on s'arrange généralement pour que . Dans ce cas, si est une application, alors tout élément de a une image par , et cette image appartenant à , elle a aussi une image par : est aussi une application ! En particulier, la composée de deux applications est une application...
Si est une fonction d'un ensemble dans lui même, c'est-à-dire si les images des éléments de sont dans , alors on peut reprendre l'image par de soit . On peut bien sûr recommencer ce procédé autant de fois que l'on veut, et ainsi, pour tout entier naturel non nul, on a :
Monsieur Jection a trois fils : Arthur appelé Le Sûr, Alain dit L'Incertain, Gabriël surnommé P'tit Gaby. Il leur propose le jeu suivant : dénombrer toutes les balles de couleurs qu'il a cachées dans le jardin, dans un temps limité. Les frères compteront les balles chacun leur tour, et devront par conséquent les laisser à leur place, ce qui obligera les joueurs à se souvenir de l'emplacement et du nombre de balles trouvées. Le Sûr (Jection) commence : il ne doute pas une seconde en comptant les balles, si bien qu'il fini bien avant le temps imparti. Il rapporte le résultat à son père qui lui répond : « Désolé, mais il y a moins de balles. Tu es allé tellement vite que tu as du compter des balles plusieurs fois ». Viens ensuite le tour de L'incertaIn (Jection) : contrairement à son frère, il prend davantage son temps pour retenir l'endroit où il a trouvé les balles, ce qui lui évite de compter des balles en double. Mais il hésite tellement qu'il dépasse le temps, et son père l'arrête avant qu'il puisse être certain d'avoir cherché partout. « Tu as un peu trop pris ton temps », lui lance son père quand Alain donne son résultat, « Je peux t'affirmer que tu en as oublié ». Reste alors le tour de P'tit GaBy (Jection) : se rappelant des remarques de son père, il prend soin de ne compter qu'une seule fois chaque balle, tout en se dépêchant de chercher partout pour ne pas en oublier. Lorsque qu'il donne sa réponse au père, celui-ci le félicite : « Bien joué, tu as su allier vitesse et mémoire, c'est effectivement le nombre de balles que j'avais cachées ».
Moralité : aucune, si ce n'est que les fils se sont appliqués différemment dans "l'association" entre balles comptées et balles réellement présentes. Cela permet justement de distinguer trois types d'applications... La surjection donne un numéro à chaque balle mais il arrive que deux numéros codent pour la même balle : il y a plus de numéros que de balles. L'injection associe à chaque numéro une unique balle, mais toutes les balles n'ont pas de numéro : il y a moins de numéros que de balles. La bijection associe à chaque numéro une unique balle : il y a autant de numéros que de balles...
Soient et deux ensembles et . On a les définitions suivantes :
Remarque : On parle aussi d'injection, de surjection et de bijection.
Pour une application, ces trois notions permettront de comparer "le nombre d'éléments" des ensembles, en particulier lorsqu'ils sont infinis, comme on l'a fait pour les numéros et les balles. Cela sera détaillé dans la partie nombres ordinaux et nombres cardinaux.
On démontre facilement les propriétés suivantes :
Soient donc trois ensembles et et deux fonctions. Supposons et injectives, soient et deux éléments de tels que . Ainsi est injective. De la même façon si et sont maintenant surjectives, alors tout élément de a un antécédent dans (car surjective), qui a lui-même un antécédent dans (car surjective), et donc est surjective. Enfin si et sont deux applications bijectives, cela signifie qu'elles sont à la fois surjectives et injectives. On applique les deux propriétés précédentes, pour en déduire que leur composée est aussi injective et surjective, c'est-à-dire bijective. CQFD.
Soit une fonction injective, alors par définition, tout élément de ne peut avoir au plus qu'un seul antécédent par . Ainsi en associant à chaque élément de cet unique antécédent (si antécédent il y a) on obtient une nouvelle fonction de dans notée fonction réciproque de (attention aux confusions possibles avec l'image réciproque !) :
En particulier pour , on note pour tout entier naturel , à l'instar de l'écriture des puissances de nombres, . Une remarque immédiate est que pour tout , et pour tout , . Considérons alors le cas où est une application bijective, de sorte que l'on peut prendre l'image par et de n'importe quel élément des ensembles respectifs et . On peut alors écrire. Si de plus , alors on prend pour convention. Finalement, toujours en s'inspirant des notations de puissances de nombre, les conventions utilisés permettent d'écrire pour tous et .
Attention ! Cette notation peut entrainer des confusions avec les puissances, pour certaines fonctions telles que sin ou cos. Ainsi pour tout réel , désigne généralement au lieu de . De même, la fonction arcsinus, réciproque de la restriction de sinus à , même si elle est symbolisée par sur certaines calculettes se note plutôt arcsin.