« Maths, Informatique, Jeux » - Résolution d'équations

Dans cette page, nous allons voir comment résoudre par radicaux des équations (à une inconnue) de degré inférieur ou égal à quatre, avec à chaque fois un programme javascript retournant les racines de l'équation donnée (notons que cette résolution par radicaux est impossible pour des degrés supérieurs). Nous nous intéresserons donc une nouvelle fois à l'association des mathématiques et de l'informatique.

Concernant le cas des équations du premier degré, les élèves de quatrième trouverons un bref rappel du cours sur les équations avant le script de résolution. Par contre pour les degrés supérieurs, les méthodes permettant de trouver les racines de l'équation sont détaillées. Celles utilisées pour les équations du second degré sont étudiées en terminale S et ES, bien que le cas où les racines sont des nombres complexes ne fasse partie que du programme de terminale S. Les élèves qui ont découvert l'ensemble ℂ des nombres complexes peuvent alors comprendre la recherche des solutions des équations du 3e et 4e degré, même si cela est hors programme.

Equation du premier degré (Niveau 4e)

Étant donnée une égalité telle que « 5x = 10 », on se propose de trouver un ou des nombres x, appelé solutions (ou racines) de l'équation, qui rendent l'égalité vraie. Par exemple en remplaçant x par 1, on obtient « 5 × 1 = 10 » ce qui est faux, ce n'est donc pas une solution.

La solution de cette équation est évidemment x = 2, mais lorsque l'on a affaire a des équation plus complexe, il faut utiliser des techniques précises. On a ainsi le droit d'ajouter ou de soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation, ainsi que de les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul. Par exemple en divisant par 5, « 5x = 10 » devient « x = 2 ».

Les équations étudiées en quatrième sont du premier degré et n'ont donc qu'une seule solution. En effet, dans tout les cas, par les méthodes citées précédemment, on peut écrire l'équation sous la forme « Ax + B = 0 », où A et B sont des nombres. En soustrayant B puis en divisant par A, on obtient « x = -B/A ». x est alors l'unique solution de l'équation, que l'ordinateur peut facilement calculer :

Equation du second degré (Niveau première S et ES puis terminale S)

La forme générale d'une équation du second degré est

A x^{2} + B x + C = 0

. Voilà comment l'on procède habituellement pour trouver les racines de l'équation :

A x^{2} + B x + C = 0

⇔

A (x^{2} + \frac{B}{A} x + \frac{C}{A}) = 0

⇔

A (x^{2} + 2 \frac{B}{2 A} + \frac{B^{2}}{4 A^{2}} - \frac{B^{2}}{4 A^{2}} + \frac{4 AC}{{4 A}^{2}}) = 0

⇔

A ({(x + \frac{B}{2 A})}^{2} - \frac{B^{2} - 4 AC}{4 A^{2}}) = 0

On pose alors $Δ = B^{2} - 4 A C$ , que l'on appelle le discriminant de l'équation :

A ({(x + \frac{B}{2 A})}^{2} - \frac{Δ}{4 A^{2}}) = 0

. Trois cas sont alors possibles :

Lorsque $Δ = 0$ , l'équation s'écrit alors $A {(x + \frac{B}{2 A})}^{2} = 0$ , et a une racine $- \frac{B}{2 A}$ .
Lorsque $Δ > 0$ , on peut écrire $A ({(x + \frac{B}{2 A})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 A})}^{2}) = 0$ On a affaire à l'identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ :
$A (x + \frac{B}{2 A} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 A}) (x + \frac{B}{2 A} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 A}) = 0$ ⇔ $A (x - \frac{- B - \sqrt{Δ}}{2 A}) (x - \frac{- B + \sqrt{Δ}}{2 A}) = 0$
L'équation possède 2 racines : $\frac{- B + \sqrt{Δ}}{2 A}$ et $\frac{- B - \sqrt{Δ}}{2 A}$ .
Lorsque $Δ < 0$ , l'équation ne possède pas de racine dans ℝ. Par contre en terminale S, on apprend qu'il existe l'ensemble ℂ des nombres complexes, où l'on peut trouver un nombre dont le carré est Δ. On peut donc factoriser l'équation de la même manière, et on trouve 2 racines complexes...

Equation du 3e degré (Niveau terminale S, hors programme)

Rappel : On pose généralement

j = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}

, qui est une des trois racines cubiques de 1.
L'équation de départ est

A x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0

, on divise par A pour obtenir une équation de la forme :

x^{3} + a x^{2} + bx + c = 0

, puis on pose

x = z - \frac{a}{3}

(z^{3} + \frac{3 z a^{3}}{9} - \frac{3 z^{2} a}{3} - \frac{a^{3}}{27}) + (z^{2} - \frac{2 a z}{3} + \frac{a^{2}}{9}) + b (z - \frac{a}{3}) + c = 0

⇔

z^{3} + z^{2} (- \frac{3 a}{3} + a) + z (\frac{3 a^{2}}{9} - \frac{2 a^{2}}{3} + b) - \frac{a^{3}}{27} + \frac{a^{3}}{9} - \frac{a b}{3} + c = 0

⇔

z^{3} + z (- \frac{a^{2}}{3} + b) + \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c = 0

L'équation est donc de la forme

z^{3} + p z + q = 0

, avec

p = - \frac{a^{2}}{3} + b

;

q = \frac{2 a^{3}}{27} - \frac{a b}{3} + c

Si p = 0, l'équation s'écrit

z^{3} = - q

et par conséquent ses racines sont

z_{0} = \sqrt[3]{- q}

z_{1} = j \times z_{0}

z_{2} = j^{2} \times z_{0}

on peut donc trouver x₀, x₁, x₂, solutions de l'équation initiale.
Si

p \neq 0

, on pose z = u + v, et en remplaçant dans l'équation obtenue précédemment :

{(u + v)}^{3} + p (u + v) + q = 0

⇔

u^{3} + 3 u^{2} v + 3 u v^{3} + v^{3} + p (u + v) + q = 0

⇔

u^{3} + v^{3} + (3 u v + p) (u + v) = 0

Pour trouver une solution à cette égalité, on s'intéresse au système suivant :

{\begin{matrix} u^{3} + v^{3} + q = 0 \\ 3 u v + p = 0 \end{matrix}

⇔

{\begin{matrix} (u^{3} + q + {(- \frac{p}{3 u})}^{3}) \times u^{3} = 0 \\ v = - \frac{p}{3 u} \end{matrix}

⇔

{\begin{matrix} u^{6} + q u^{3} - \frac{p^{3}}{27} = 0 \\ v = - \frac{p}{3 u} \end{matrix}

En posant

{y = u}^{3}

, la première équation devient

y^{2} + q y - \frac{p^{3}}{27} = 0

.
C'est donc une équation du second degré que l'on sait résoudre : soit y₀ une racine de cette équation. Comme

u^{3} = - y_{0}

, on en déduit, comme précédemment, u₀, u₁, u₂. Puis, à l'aide du système, on leur associe les nombres v₀, v₁, v₂. On arrive alors à z₀, z₁, z₂, et enfin à x₀, x₁, x₂...

Bref cela demande beaucoup de calcul et de changements de variables qu'une machine peut cependant effectuer rapidement (attention tout de même avec les arrondis) :

Equation du 4e degré (Niveau terminale S, hors programme)

L'équation de départ est

A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + Dx + E = 0

, on divise comme d'habitude par A pour obtenir une équation de la forme

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + cx + d = 0

, puis on pose

x = z - \frac{a}{4}

(z^{4} - 4 z^{3} \times \frac{a}{4} + 6 z^{2} \times \frac{a^{2}}{16} - 4 z \times \frac{a^{3}}{4^{3}} + \frac{a^{4}}{4^{4}}) + a (z^{3} + 3 z^{2} \times - \frac{a}{4} + 3 z \times \frac{a^{2}}{16} - \frac{a^{3}}{4^{3}}) + b (z^{2} - \frac{2 a z}{4} + \frac{a^{2}}{16}) + c (z - \frac{a}{4}) + d = 0

⇔

z^{4} + z^{3} (- a + a) + z^{2} (\frac{6 a^{2}}{16} - \frac{3 a^{2}}{4} + b) + z (- \frac{a^{3}}{4^{2}} + \frac{3 a^{2}}{16} - \frac{a b}{2} + c) + (\frac{a^{4}}{4^{4}} - \frac{a^{4}}{4^{3}} + \frac{a^{2} b}{16} + \frac{a c}{4} + d) = 0

⇔

z^{4} + z^{2} (- \frac{3 a^{2}}{8} + b) + z (\frac{a^{3}}{8} - \frac{a b}{2} + c) + (- \frac{3 a^{4}}{256} + \frac{a^{2} b}{16} - \frac{a c}{4} + d) = 0

L'équation est donc de la forme

z^{4} + p z^{3} + q z^{2} + r = 0

, avec

p = - \frac{3 a^{2}}{8} + b

;

q = \frac{a^{3}}{8} - \frac{a b}{2} + c

;

r = - \frac{3 a^{4}}{256} + \frac{a^{2} b}{16} - \frac{a c}{4} + d

.
Pour factoriser cette équation, on va supposer qu'il existe P, Q, R, tels que l'on ait les trois égalités suivantes :

2 P - Q^{2} = p

;

- 2 QR = q

P^{2} - R^{2} = r

, ce qui nous permet d'obtenir :

z^{4} + (2 P - Q^{2}) z^{2} - 2 Q Rz + P^{2} - R^{2} = 0

⇔

z^{4} + 2 P z^{2} + P^{2} - ({(Q z)}^{2} - 2 Q R z - R^{2}) = 0

⇔

{(z^{2} + P)}^{2} - {(Q z + R)}^{2} = 0

, et finalement :

(z^{2} + Q z + P + R) (z^{2} - Q z + P - R) = 0

.
C'est donc un produit d'équations du second degré dont on peut trouver les racines, reste à trouver les nombres P, Q et R, c'est-à-dire résoudre le système :

{\begin{matrix} 2 P - Q^{2} = p \\ - 2 QR = q \\ P^{2} - R^{2} = r \end{matrix}

⇔

{\begin{matrix} Q^{2} = 2 P - p \\ R^{2} = P^{2} - r \\ Q R = - \frac{q}{2} \end{matrix}

⇔

{\begin{matrix} Q^{2} = 2 P - p = {(\frac{Q R}{R})}^{2} = \frac{{(Q R)}^{2}}{R^{2}} = \frac{\frac{q^{2}}{4}}{P^{2} - r} \\ R^{2} = P^{2} - r \\ Q R = - \frac{q}{2} \end{matrix}

La ligne du haut donne l'équation :

2 P - p - \frac{q^{2}}{4 (P^{2} - r)} = 0

⇔

P (P^{2} - r) - \frac{p (P^{2} - r)}{2} - \frac{q^{2}}{8} = 0

⇔

P^{3} - \frac{p}{2} P^{2} - r P + \frac{r p}{2} - \frac{q^{2}}{8} = 0

.
On a ainsi une équation du 3ème degré dont on peut trouver une solution P₀ (d'après la méthode décrite plus haut).
Puis à l'aide du système, on a le triplet de nombre (P₀, Q₀, R₀) qui réponds aux conditions fixés.
En particulier, on a

z^{2} + Q_{0} z + P_{0} + R_{0} = 0

z^{2} - Q_{0} z + P_{0} - R_{0} = 0

, deux équations de degré 2 qui nous fournissent au plus 2 racines chacune, c'est-à-dire quatre racines (pas forcément toutes distinctes) pour l'équation initiale en z : z₀, z₁, z₂, z₃.
Il ne nous reste plus pour terminer, qu'à se servir de l'égalité

x = z - \frac{a}{4}

pour trouver les quatre racines x₀, x₁, x₂, x₃ de l'équation initiale.

Là encore, la tâche est fastidieuse, sauf pour l'ordinateur qui nous donne le résultat en un clin d'oeil (ou de diode pour être précis) :

Sommaire

Introduction

Equation du premier degré (Niveau 4e)

Equation du second degré (Niveau première S et ES puis terminale S)

Equation du 3e degré (Niveau terminale S, hors programme)

Equation du 4e degré (Niveau terminale S, hors programme)