Ce qui va suivre est une introduction à l'infini mathématique destinée à un large public, c'est pourquoi on laissera volontairement de coté la rigueur et le formalisme pour faire place à un exposé plus accessible, illustré par des schémas. Le lecteur interessé par une présentation plus complète pourra aller voir sur mon site « Maths, Informatique, Jeux ». Je tiens aussi à avertir que l'infini que l'on va traiter n'est pas celui que l'onutilise en analyse, symbolisé par ∞, mais celui provenant de la théorie des ensembles et qui revêt deux aspects : les nombres ordinaux et les nombres cardinaux.
Prenons un ensemble E = {A, B, C, D}. Cet ensemble comporte 4 éléments qui sont A, B, C, D. Ainsi pour un ensemble fini, le cardinal d'un ensemble est son nombre d'éléments : card(E) = 4.
Si on considère maintenant F = {W, X, Y, Z}, alors on voit que card(F) = card(E), c'est-à-dire que F a autant d'éléments que E. De même pour G = {X, Y, Z} on a card(G) < card(E), puisque G a moins d'éléments que E. Pour énoncer cela, on a compté les éléments de chaque ensemble, mais comment aurions nous fais si nous n'avions pas su compter ? Voici une méthode qui nous servira pour les ensembles infinis :
Ce genre de réprésentation correspond à ce qu'on appelle des applications. Dans chaque cadre, on voit un ensemble de départ (en haut) et un ensemble d'arrivée (en bas), ainsi que des flèches qui associent à chaque élément du premier un unique élément du second. Il est possible que deux flèches pointent vers la même lettre, c'est le cas dans le premier cadre. L'application est dite injective si on n'a pas affaire à une telle situation, et cela ne peut se produire que si le nombre d'éléments de l'ensemble de départ est plus petit ou égal à celui de l'ensemble d'arrivée. En effet, regardons encore le premier cadre : on a mis des flèches partant de A, B, C jusqu'à X, Y, Z de sorte que les flèches ne pointent pas vers un même élément. Mais du coup pour la flèche partant de D, on n'a plus le choix, on est obligé de la faire arriver à un élément déjà pointé !
A l'inverse, lorsque l'application est surjective, c'est-à-dire que tout élément de l'ensemble d'arrivée est pointé par au moins une flèche, alors cela signifie qu'il y a assez d'éléments dans l'ensemble de départ pour pointé tout ceux de l'ensemble d'arrivée. Autrement dit, le nombre d'éléments de l'ensemble de départ est plus grand ou égal à celui de l'ensemble d'arrivée. Enfin, si l'application est bijective (à la fois injection et surjection), les deux ensembles ont alors autant d'éléments ! On s'en rend compte dans le dernier cadre, où les flèches peuvent aller dans les deux sens : les éléments des deux ensembles sont associés un-à-un.
Pour les ensembles finis, on remarque que pour dire que l'ensemble de départ a un cardinal strictement plus petit que celui d'arrivée, il suffit que l'application soit injective et non surjective, comme dans le deuxième et troisième cadres. Cela sera faux pour les ensembles infinis, et le seul moyen pour avoir une stricte inégalité sera de prouver que l'on ne peut pas avoir de bijection. On privilègera dans un premier temps les injections par rapport aux surjections pour comparer les cardinaux, en particulier parce qu'on dispose du théorème de Cantor-Berstein : « Soient E et F deux ensembles. Si il existe une injection de E dans F, et une autre de F dans E, alors il existe une bijection de E dans F ». Pour affirmer des énoncés comparables avec les surjections, il faut ajouter une hypothèse à notre théorie (l'axiome du choix), c'est pourquoi on s'en tiendra pour l'instant aux définitions avec les injections et bijections :
Au lieu de chercher à compter le nombre d'éléments d'un ensemble, on va regarder de quelle manière celui-ci est rangé. Pour le cas fini, lorsqu'on fixe un nombre d'éléments, il n'y a qu'un seul type de rangement possible. Ainsi on peut ranger les éléments de l'ensemble G = {X, Y, Z}, dans des ordres différents : X, Y, Z ; X, Z, Y ; Y, X, Z etc mais dans tout les cas, cela revient au type "premier élément, deuxième élément, troisième élément". Les ordinaux sont alors la liste de ces types de rangement : pour l'ensemble vide, c'est l'ordinal 0 ; pour un ensemble à un élément ordonné par un type "premier élément", c'est le rangement 1 ; pour un ensemble à deux éléments ordonné par un type "premier, deuxième", c'est l'ordinal 2 ; pour l'ensemble G, c'est l'ordinal 3 etc
En fait, la façon dont doivent être ordonnés les ensembles est particulière, on dit qu'ils sont bien ordonnés. Ceci signifie que si on prend plusieurs éléments parmi l'ensemble de façon à les regrouper dans ce qu'on appelle un sous-ensemble, on sera toujours capable de dire qui est le plus petit. Quand un ensemble est bien ordonné, comme c'est toujours le cas lorsqu'il est fini, on peut lui associer un ordinal. A titre d'exemple d'ensemble non bien ordonné, prenons le sous-ensemble des nombres relatifs ℤ muni de l'ordre habituel, et prenons tous les nombres négatifs : il n'y a pas de plus petit !
Comme pour les cardinaux, on va se servir d'applications pour comparer les ordinaux, et plus précisément il faut que les applications soient bijectives. Mais une condition supplémentaire intervient : il faut que l'ordre de deux éléments soit conservé lorsque l'on prend les éléments correspondants avec les flèches. Ce n'est pas le cas pour le premier cadre puisque Y est avant Z, mais leurs images C et B sont dans un ordre différent. Pour les deux autres ces conditions sont vérifiées, et l'on a ce qu'on appelle des isomorphismes.
Ces isomorphismes permettent de comparer les ordinaux correspondant aux ensembles ordonnés étudiés. Dans le deuxième cadre, on a mis un isomorphisme entre l'ensemble de départ avec seulement un début de l'ensemble d'arrivée (un segment initial) : on dira alors que l'ordinal de X, Y, Z est plus petit que celui de A, B, C, D. Par contre pour le dernier l'isomorphisme concerne les ensembles dans leur totalité : leurs ordinaux sont égaux, il s'agit en effet dans les deux cas d'un rangement de type 4. Finalement, on est conduit aux définitions suivantes, pour deux ensembles E et F bien ordonnés :
On a vu que les nombres entiers naturels 0, 1, 2, 3, 4... pouvaient être utilisés avec les ensembles finis de deux manières différentes : soit pour compter leur nombre d'éléments (nombres cardinaux) soit pour savoir de quel manière ils sont rangés (nombre ordinaux). Dans le cas fini, ces deux concepts se confondent en une même liste de nombres 0, 1, 2, 3... mais cela ne sera plus vrai dans le cas infini. Ainsi, comme un ordinal tient compte, outre le nombre d'éléments dans l'ensemble, de la manière dont ils sont rangés, on peut penser que la classe des ordinaux est plus grande que celle des cardinaux, c'est à dire qu'elle la contient, ce qui est effectivement le cas. Dit encore autrement, chaque cardinal pourra être représenté par un ordinal particulier. On a aussi présenté les applications qui permettent de comparer ordinaux et cardinaux d'ensembles. Cet outil sera essentiel pour les ensembles infinis, puisqu'il nous sera alors plus difficile de "compter" les éléments !
Dans le cadre de la théorie des ensembles, une manière originale pour définir les entiers naturels 0, 1, 3, 4... est la suivante : l'entier n est "l'ensemble des entiers strictement plus petit que n". Ainsi 0 est l'ensemble vide, puisqu'il n'y a aucun entier avant lui. Et cela continue pour tout les entiers n :
0 = Ø (symbole pour l'ensemble vide)
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
...
C'est ainsi que l'on défini la liste de tous les ordinaux finis, et donc cardinaux puisqu'il s'agit de la même chose dans le cas fini. On remarque par ailleurs qu'avec une telle définition, le cardinal n est un ensemble et on peut donc prendre son cardinal : il s'agit alors de lui-même !
Ainsi le cardinal du cardinal 4 = {0, 1, 2, 3} est 4 puisque l'ensemble possède 4 éléments. On retrouve un résultat comparable pour le cas d'un ordinal.
L'idée pour introduire l'infini dans notre théorie est de considérer l'ensemble ℕ = {0, 1, 2, 3...} de tous les entiers naturels. Pour les ordinaux, on le note plutôt ω (lire omega). Et on continue ainsi pour les ordinaux qui suivent, en définissant un ordinal comme l'ensemble des ordinaux plus petits que lui.
0=Ø
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
...
ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
ω + 1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... , ω}
ω + 2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... , ω, ω + 1}
...
A ce stade, apportons quelques précisions sur la suite des ordinaux. Tout d'abord on remarque que si α est avant β alors α est inclus dans β, c'est-à-dire que tous les éléments de α sont dans β. Ainsi 3 = {0, 1, 2} est inclus dans 5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Si on dispose d'un ensemble d'ordinaux, le plus petit ordinal est obtenu en prenant tous les éléments qu'ils ont en communs (on parle d'intersection). Cela veut dire en autres termes que la suite des ordinaux est elle-même bien ordonné. Ainsi prenons trois ordinaux 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7} et 3 = {0, 1, 2}. Leur intersection est composée des nombres 0, 1, 2 et l'ensemble {0, 1, 2} = 3 est bien le plus petit ordinal des trois. De plus, pour trouver le plus grand élément des trois, on regroupe tous leurs éléments dans un ensemble (on parle de réunion). Cela dit, la réunion ne fait pas toujours partie de l'ensemble, par exemple la réunion des ordinaux fini est ω qui est un ordinal infini ! D'une façon général, la réunion d'un ensemble d'ordinaux est le plus petit ordinal qui est plus grand que tous les ordinaux de l'ensembles (on parle de borne supérieur). On distingue cependant deux cas, correpondant à deux types d'ordinaux. Quand la réunion est le plus grand élément de l'ensemble, celle-ci constitue un ordinal successeur (1 successeur de 0, ω + 2 successeur de ω + 1 etc). Dans le cas contraire, la réunion est un ordinal strictement plus grand que ceux de l'ensemble :c'est un ordinal limite tel que ω. Notons que l'ordinal 0 n'est ni limite, ni succeseur, on l'appelle l'ordinal nul.
Il est clair que la manière dont sont par exemple rangés les ordinaux ω et ω + 1 n'est pas la même : le premier correspond à une liste infinie d'éléments, tandis que le second correspond à une liste infinie d'éléments suivie par un autre élément. Ce sont donc des ordinaux distincts, mais a t-on pour autant obtenu des cardinaux distincts ? On montre par une bijection que ces ensembles ont "autant d'éléments" :
Dans cette application on met en relation 0 avec ω, et tout entier n + 1 avec n. Ainsi cela ne sert à rien de prendre ω + 1comme cardinal, puisqu'il représente exactement le même infini que ω. Pour éviter les confusions, on note (lire aleph zéro) ce cardinal que l'on pose comme égal à ω. En fait, on peut appliquer cette bijection à tout ordinal infini α pour prouver qu'il est de même cardinal que son successeur α + 1. On met en correspondance 0 avec α, n avec n + 1 pour tout entier n, tandis que les autres ordinaux de α son en correspondance avec eux-même.
Une conséquence directe est que les cardinaux infinis seront forcément représenté par des ordinaux limite, car s'ils étaient le successeur α + 1d'un ordinal α, alors on aurait pris α pour représenter ce cardinal. Ainsi comme on a pris ω pour représenter le cardinal , ses successeurs ω + 1, ω + 2, ω + 3,... ne fournissent pas de nouveaux cardinaux. Tous ces ensembles sont dit dénombrables car de cardinal ; on verra par la suite qu'il existe des ensembles de cardinal supérieur...
Dans le paragraphe précédent, on a utiliser le symbole + sans pour autant préciser les règles de calcul pour cette opération. Prenons donc deux ordinaux α et β (alpha et bêta). Alors α + β est l'ordinal correspondant au rangement de α suivis de celui de β. Par exemple, calculons 4 + 5 :
4 + 5 = {0, 1, 2, 3} + {0, 1, 2, 3, 4} → 0, 1, 2, 3, 0', 1', 2', 3', 4' → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = 9
On voit que l'on retrouve notre opération + habituelle pour deux ordinaux finis. Par contre toutes les propriétés ne sont pas conservés pour les ordinaux infinis. Ainsi ω + 3 et 3 + ω ne représente pas le même ordinal (on dit alors que + n'est pas commutative car on ne peut inverser l'ordre des termes) :
ω + 3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} + {0, 1, 2} → 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 0', 1', 2' → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... , ω , ω + 1, ω + 2} (une liste infinie suivie de trois éléments)
3 + ω = {0, 1, 2} + {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...} → 0, 1, 2 , 0', 1', 2', 3', 4', 5', 6'... → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...} = ω (trois éléments puis une liste infinie, donc au total une liste infinie)
Pour additionner des cardinaux, on procède de même en ne tenant pas compte de l'ordre, et en prenant simplement le cardinal de leur union disjointe c'est-à-dire en regroupant tous leurs éléments dans le même ensemble mais en considérant qu'ils n'en ont aucun en commun (comme ci-dessus, pour les différencier on va ici utiliser le symbole ' ). Ainsi en terme de cardinaux on a encore 4 + 5 = card({0, 1, 2, 3, 0', 1', 2', 3', 4'}) = 9. On a aussi déjà vu que la somme de avec un cardinal fini n n'augmentait pas le cardinal, et comme on ne tient pas compte de l'ordre, on a Qu'en est-t-il de ? Pour voir cela on peut revenir aux ordinaux, puisque tout ensemble de cardinal peut être réorganisé en rangement de type ω, et on va comparer ω + ω avec ω. Or en réorganisant dans ce dernier nombres pairs et nombres impairs, on fait directement apparaitre une bijection entre ces deux ensembles :
De ce fait, on a , et l'opération + ne nous permet toujours pas de passer à un cardinal supérieur. Par contre on peut continuer notre ascension chez les ordinaux. On découvre alors de nouveaux ordinaux limites :
0 = Ø
1 = {0}
2 = {0, 1}
...
ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
ω + 1 = {0, 1, 2, 3, 4, ... , ω}
ω + 2 = {0, 1, 2, 3, 4, ... , ω, ω + 1}
...
ω + ω = {0, 1, 2, 3, 4, ... , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4...}
ω + ω + 1 = {0, 1, 2, 3, 4, ... , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4... , ω + ω}
ω + ω + 2 = {0, 1, 2, 3, 4, ... , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4... , ω + ω, ω + ω + 1}
...
ω + ω + ω = {0, 1, 2, ... , ω, ω + 1, ω + 2, ... , ω + ω, ω + ω + 1, ω + ω + 2, ...}
ω + ω + ω + 1 = {0, 1, 2, ... , ω, ω + 1, ω + 2, ... , ω + ω, ω + ω + 1, ω + ω + 2, ... , ω + ω + ω}
ω + ω + ω + 2 = {0, 1, 2, ... , ω, ω + 1, ω + 2, ... , ω + ω, ω + ω + 1, ω + ω + 2, ... , ω + ω + ω, ω + ω + ω + 1}
...
Après avoir vu l'opération +, on aimerait évidemment trouver un résultat similaire pour l'opération ×, de sorte que celle-ci soit la même que la multiplication qui nous est familière, et que de plus des expressions comme ω + ω + ω se simplifie en ω × 3. De même pour les cardinaux, on espère retrouver les résultats des produits de nombres entiers, mais par contre cela ne permettra pas non plus de constuire des cardinaux strictement supérieur à .
Avant toute chose, introduisons la notion de produit cartésien A × B de deux ensembles A et B. Il s'agit de l'ensemble de tous les couples (a, b) possibles avec a élément de A et b élément de B. Par exemple le produit cartésien de {0, 1, 2} × {0, 1, 2, 3} est {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3)}. Ainsi pour deux cardinaux κ et λ (kappa et lambda), κ × λ est le cardinal du produit cartésien de κ par λ. On vérifie que cela fonctionne bien avec les nombres entiers, puisque 3 × 4 est le cardinal de l'ensemble que l'on vient de citer, qui possède 12 éléments.
Montrons tout de suite que , c'est-à-dire que le produit ne nous permet pas non plus de passer à un cardinal supérieur. Il suffit comme pour l'addition d'établir une bijection entre ω × ω et ω :
A gauche, on a rangé dans le tableau chaque couple (x, y) élément de ω × ω dans la case de coodonnées (x, y). Pour ranger ω dans le tableau on a procédé d'une façon moins naturelle : on place le 0 en (0, 0), le 1 en (1, 0), le 2 en (0, 1), le 3 en (0, 2), le 4 en (1, 1) et on continue ainsi en suivant le parcours indiqué par le tracé, de sorte que l'on remplit toutes les cases. On obtient alors une bijection permettant de passer de ω × ω à ω, et réciproquement : les flèches de correspondance non représentées ici, relient entre elles les cases de même coordonnées dans les deux tableaux. De ce résultat on déduit que pour tout entier n non nul Tous les couples (x, y) d'entiers de l'ensemble n × ω sont contenus dans le produit cartésien ω × ω, et on a . De plus ω s'injecte dans n × ω, en considérent l'application qui à tout entier n associe le couple (0, n), ce qui signifie que . Finalement on a bien .
Pour le produit d'ordinaux α et β il faut trouver comment bien ordonner le produit cartésien, et en réalité, l'ordre dans lequel on a listé celui de 3 × 4 convient : on place (a, b) avant (a', b') si b < b' ou si b = b' et que a < a'. On peut aussi voir ça en disant que l'on remplace chaque élément de β par une copie de α. Par exemple voici quelques produit d'ordinaux, les « copies » étant entre crochets :
3 × 4 = {0, 1, 2} × {0, 1, 2, 3} → [0, 1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2], → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} = 12
3 × ω = {0, 1, 2} × {0, 1, 2, 3...} → [0, 1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2], ... → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} = ω
ω × 3 = {0, 1, 2, 3...} × {0, 1, 2} → [0, 1, 2, 3, 4, ...], [0, 1, 2, 3, 4, ...], [0, 1, 2, 3, 4, ... ] → ω + ω + ω
ω × ω = {0, 1, 2, 3...} × {0, 1, 2, 3...} → [0, 1, 2, 3, 4, ...], [0, 1, 2, 3, 4, ...], [0, 1, 2, 3, 4, ... ], [0, 1, 2, 3, 4, ...], ... → ω + ω + ω + ω ...
Le produit d'ordinaux finis s'accorde bien avec notre multiplication d'entier : on retrouve 3 × 4 = 12. Par contre pour la multiplication avec des ordinaux infinis, la multiplication n'est plus commutative : pour un entier n, n × ω = ω mais ω × n revient à additionner n fois ω. On obtient aussi de nouveaux ordinaux innaccessibles par l'opération +. Ainsi l'ordinal ω × ω, se traduit par une sorte de somme infinie de ω + ω + ω... On est amené à compléter notre liste ordinale :
0, 1, 2, 3, 4, ...
ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ...
ω + ω = ω × 2 = ω2, ω2 + 1, ω2 + 2, ω2 + 3, ...
ω3, ω3 + 1, ω3 + 2, ω3 + 3, ω3 + 4, ω3 + 5, ...
ω4, ω4 + 1, ω4 + 2, ω4 + 3, ω3 + 4, ω3 + 6, ...
...
ωω, ωω + 1, ωω + 2 , ... ωω + ω, ωω + ω + 1, ωω + ω + 2, ωω + ω + 3, ... ωω + ω2 ... ωω + ω3 ...
ωω + ωω =ωω2, ...
ωω3, ...
ωω4, ...
...
ωωω, ...
...
ωωωω, ...
...
On continue naturellement nos opérations en définissant les puissances d'ordinaux et de cardinaux, de sorte que l'on doit retrouver pour deux entiers a et b que . Pour deux cardinaux κ et λ, est défini comme le cardinal κλ de celui de l'ensemble de toutes les applications de λ dans κ. Illustrons cela avec κ = 2 = {0, 1} et λ = 3 = {0, 1, 2}. On trouve exactement applications différentes :
On remarque que pour un entier naturel n non nul et un cardinal κ, on a . En effet, chaque élément du produit est codé par un regroupement de n éléments de κ. Or il existe à chaque fois une unique application de n = {0, 1, 2, 3, 4... n - 1}dans κ qui permet de représenter ce regroupement, il suffit de considérer celle dont la flèche partant de chaque entier m arrive à l'élément de κ. Celà signifie en particulier que l'utilisation d'un nombre entier n comme exposant ne permet pas d'obtenir des cardinaux supérieurs, puisque l'on peut se ramener aux cas des produits. Par contre, en prenant pour exposant, on obtient quelque chose de plus intérressant, et on montrera plus loin que , nous permettant d'obtenir un cardinal non dénombrable. En fait on peut continuer ainsi, puisque pour tout cardinal κ, on a , ce qui donne une suite strictement décroissante de cardinaux.
On aimerait enfin pour deux ordinaux α et β, définir l'ordinal n cherchant une façon de bien ordonner l'ensemble des de applications de β dans α. Or cette tâche se révèle difficile, et on doit se résoudre à ne choisir que certaines applications pour obtenir un sous-ensemble bien ordonnable, celles pour lesquelles il n'y a qu'un nombre fini de flèches ne pointant pas vers le nombre 0 de α. Nous n'allons rentrer dans le détail, mais il faut savoir que en limitant le nombre d'application, on empêche le cardinal de s'élever. Du coup bien que l'on aie , le cardinal de n'excède pas et on montre que les ensembles sont dénombrables et qu'il en est de même le plus petit ordinal qui vient après cette suite d'ordinaux (qui comme on l'a dit n'est autre que leur réunion) noté . Élever un ordinal dénombrable à la puissance un autre ordinal dénombrable donne un ordinal dénombrable et (si on admet l'axiome du choix) prendre la réunion d'ordinaux dénombrables donne un ordinal dénombrable. Ainsi en continuant à combiner les opérations exponentiation et union on obtiendra toujours de nouveaux ordinaux, eux aussi dénombrables, par exemple réunion des puissances itérées de , et ainsi de suite (voir plus bas). Du coup, on a trouvé un cardinal indénombrable (), mais pas d'ordinal assez grand pour le représenter ! Ce problème cera résolu dans la partie suivante, lorsque l'on étudiera les ensembles indénombrables.
En attendant on va, au risque de se répèter, préciser que l'on retrouve les propriétés escomptées pour les ordinaux finis. En effet, si l'exposant est un entier naturel n, alors chaque application comporte nécessairement n flèches, car elles partent de l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5... n - 1} à n éléments. Il ne peut donc y avoir a fortiori qu'un nombre fini de flèches ne pointant pas vers 0, et on ordonne donc l'ensemble de toutes les applications. Ainsi si a est un entier naturel alors est l'ordinal correspondant à un ensemble ordonné de cardinal , donc fini et qui ne peut prendre qu'un seul type de rangement, celui du nombre . On montre aussi que pour tout ordinal α et n entier non nul, , ce qui permet de retrouver la multiplications avec un nombre fini de facteurs. Revenons alors sur la suite des ordinaux :
0, 1, 2, 3, 4... ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, ... ω2, ... ω3, ... ω4, ...
, ... , ... , ... , ... , , , ...
, ... ... , , ... , ... , ..., ... ...
Une autre propriété essentielle des entiers est le potentiel fourni par la récurrence : démonstrations de formules et définitions de suite. Prenons un exemple pour rappeler leur utilisation. Une suite arithmétique peut être définie en choisissant un réel , et en posant pour tout entier n , avec r réel. On obtient alors la suite , , , ... D'une façon générale, on montre que le terme de rang n est , or cela se démontre par récurrence. Pour n = 0, l'égalité est vérifiée, puisque ; et si elle vérifiée pour un entier n elle l'est pour son successeur puisque ; ce qui permet d'affimer qu'elle est vraie pour tout n.
La démonstration par récurrence peut, avec quelque aménagement, être généralisé pour les ordinaux : on parle de démonstration par induction. Tout d'abord on a la proposition suivante permettant de démontrer une propriété P(α) pour tous ordinaux α par induction ordinale : « Si pour tout ordinal α, le fait que la propriété P(β) soit vraie pour tous les ordinaux β < α entraîne que P(α) soit vraie, alors P(α) est vraie pour tout ordinal α ». En effet, si la propriété P est fausse pour un ordinal, alors en prenant le plus petit, disons α, P(β) est vraie pour tous les ordinaux β < α (ou sinon α ne serait pas le plus petit !) et alors en fait P(α) est vraie ! Notons que contrairement à la démonstration de récurrence, on n'a pas besoin de vérifier pour α = 0 = Ø, puisque la propriété P est vérifiée pour tous les ordinaux qui sont avant (il n'y en a aucun !). il existe une forme de démonstration par induction plus proche de la récurrence sur les entiers : on part de l'ordinal 0 et on démontre de proche en proche pour les ordinaux successeurs... Mais il faut cependant assurer le passage aux ordinaux limites, ce qui donne les trois conditions suivantes, permettant de démontrer que P(α) est vraie pour tout ordinal α :
De la même façon on peut définir une suite par définition récursives sur les ordinaux, à condition de disposer d'un moyen d'associer une unique image à un ordinal α, en fonction de tous les précédemment calculés (c'est-à-dire α < β). Là encore, il existe une définition plus proche de celle des entiers qui consiste à partir d'un ensemble , de définir pour tout ordinal α le terme en fonction de , et enfin pour tout ordinal limite λ, de définir le terme en fonction de tous les précédemment calculés. Évidemment, on est pas obligé de construire notre suite d'ensembles sur tous les ordinaux, mais juste se limiter aux ordinaux α plus petit qu'un ordinal θ. Il en va de même de la démonstration par récursion, où la propriété P peut ne porter que sur certains ordinaux.
Nous avons défini les entiers d'une façon originale, en disant que l'entier naturel n était l'ensemble de tous les nombres strictement inférieur à n. Il en est de même d'un ordinal, défini comme égal à tous les ordinaux qui viennent avant lui. C'est ainsi que l'on est arrivé à notre plus petit ordinal infini ω, lui-même plus petit cardinal infini . On a ensuite pu prolonger nos opérations familières sur les entiers pour les nombres ordinaux et cardinaux ; ainsi que les propriétés de récurrence pour les ordinaux. Mais si cela nous a permis d'obtenir pleins de nouveaux ordinaux, le seul cardinal infini reste ... Sauf avec l'exponentiation qui nous laisser espérer augmenter dans la hiérachie cardinale. Cependant tous les ordinaux calculés jusqu'ici, même en utilisant l'exponentiation, restent de cardinal , ce qui semble compromettre notre volonté de définir un cardinal en prenant un ordinal particulier... nous verrons comment remédier à cela dans la partie suivante.
Comme pour les ordinaux, on est amené à considérer deux types de cardinaux : les cardinaux qui sont successeurs comme 1, 2 ou 3 ; et les autres appelés cardinaux limites comme ou 0. Notons que si tout cardinal fini possède un successeur, on a toujours pas trouvé de successeur à . En fait tout cardinal infini κpossède un successeur, c'est-à-dire un plus petit cardinal strictement supérieur, que l'on note . Nous allons prouver son existence en prouvant que pour tout ordinal α, il existe un ordinal χ qui vient juste après lui en terme de cardinalité.
Soit α un ordinal infini et X l'ensemble des ordinaux β tels qu'il l'existe une injection de β dans α. Par exemple pour α = ω, X contient tous les ordinaux finis, ω lui-même mais aussi tous les ordinaux dénombrables : ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, ... ω2, ... ω3, ... ω4, ... , ... , ... , ... , ... , , , ..., ... ... ,, ... , ... , ..., ... ... Prenons alors χ la réunion de tous les ordinaux de X, c'est-à-dire le plus petit ordinal qui vient après. Si un ordinal β appartient à X (c'est-à-dire s'il s'injecte dans α), alors d'après ce qu'on a dis dans le paragraphe ω et ses successeurs, l'ordinal β + 1 est aussi en bijection avec β, donc s'injecte aussi dans α et finalement appartient aussi à X. Ainsi X n'a pas de plus grand élément, et nécessaire χ est un ordinal limite : il est strictement supérieur aux éléments de X (qui est en fait χ lui-même). Donc si χ s'injectait dans α, il appartiendrait à X, et serait strictement supérieur à lui-même, ce qui n'est pas possible. Finalement χ est le plus ordinal ne s'injectant pas dans α, c'est-à-dire . Autrement dit partant de l'ordinal , on pose le plus petit ordinal ne s'injectant pas dans ω, puis de proche en proche Maintenant que l'on a obtenu un moyen de construire une suite croissantes (en terme de cardinalité) d'ordinaux infinis, on va s'en servir pour compléter notre suite de cardinaux. est déjà été représenté par . le sera par , par et ainsi de suite. De façon plus précise, on va se servir d'une définitions récursives sur les ordinaux pour contruire ces alephs :
On obtient alors une suite strictement croissante de cardinaux (on laisse le lecteur voir qu'un cardinal limite , est bien strictement plus grand que ceux qui viennent avant) permettant théoriquement de mesurer la taille de n'importe quel ensemble infini. En fait ce n'est pas véritablement le cas puisque dans cette définition les cardinaux sont définis comme des ordinaux particuliers (ceux qui ne sont en bijection avec aucun des ordinaux plus petit), ce qu'on avait souhaité, mais rien ne dit que l'on puisse trouver un moyen d'associer un ordinal à tout ensemble. Dit autrement, il faudrait pouvoir bien ordonner tout ensemble E donné, ce qui necessite l'axiome du choix dont on a parlé précedemment. Nous reviendrons sur cela dans la suite.
Après avoir distingué cardinaux limites et successeurs, introduisons une nouvelle caractéristique des cardinaux qui est d'être régulier ou singulier. Cette caractéristique nous servira par la suite pour imaginer des cardinaux de taille encore plus élevée (notons au passage qu'elle sert aussi pour l'exponentiation cardinal). Avant toute chose, il faut définir la cofinalité d'un ordinal (en fait cette définition se généralise à tout ensemble ordonné).
Imaginons que l'on veuille parcourir la totalité d'un ordinal α, en partant du plus petit, puis en montant à chaque fois sur un élément plus grand. Le nombre minimum de déplacement possible s'appelle la cofinalité notée cf(α). Une première remarque est que cf(α) < card(α), en effet si on parcourt l'ensemble en se déplaçant sur tous les éléments (donc le nombre maximum de déplacements), on a fait exactement card(α) déplacements. Ainsi, pour l'ordinal 0 il n'y a rien à parcourir et cf(0) = 0. Pour l'ordinal 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, on peut se déplacer en 6 fois si on monte élément par élément, mais le plus rapide est de monter directement à 5 en un seul pas : cf(6) = 1. De même pour tout ordinal successeur α, on a cf(α) = 1 puiqu'il suffit de monter sur le plus grand élément. Pour l'ordinal ω, , mais a t-on une inégalité stricte, autrement dit cette cofinalité peut elle être un cardinal fini ? Si cela était le cas, on pourrait parcourir un ensemble infini en un nombre fini de déplacements, ce qui est biensûr impossible ! On a finalement .
La cofinalité appliquée aux cardinaux nous pemet de distinguer deux types de cardinaux λ : les cardinaux réguliers λ, qui sont égal à leurpropre cofinalité (cf(λ) = λ) et les cardinaux singuliers, qui sont stcrictement supérieur à leur cofinalité (cf(λ) < λ). Pour l'instant les seuls d'ordinaux strictement supérieur à leur cofinalité sont les ordinaux finis, ainsi que les ordinaux successeurs. Mais comme on l'a dit dans le paragraphe « ω et ses successeurs », les cardinaux ne sont jamais des ordinaux successeurs, donc on pourrait penser qu'en fait seuls les cardinaux finis sont réguliers : on montre en effet que ... et d'une manière générale tous les cardinaux successeurs sont réguliers. Il faut donc chercher d'autres cardinaux singuliers dans les cardinaux limites. Ainsi, il est trivial de vérifier que est bien singulier , il suffit en effet de se déplacer de la façon suivante : ... et on parcourt en déplacements : .
A partir d'un ensemble E donné, on peut peut construire des sous-ensembles de E en choisissant des éléments dans E, par exemple {19, 42, 83, 14} ou {0, 2, 4, 6, 8 , 10 ... } sont des sous-ensembles de ω. L'idée est de considerer l'ensemble P(E), de tous les sous-ensembles de E, qui contient toujours deux éléments particuliers qui sont l'ensemble Ø (formé en ne choississant aucun élément de E) et E lui-même (en choisissanttous les éléments de E). Prenons E = 3 = {0, 1, 2} ; on a alors P(E) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. On remarque que E possède 3 éléments tandis que P(E) en possède . En fait d'une façon générale, on montre que si E est de cardinal κ, alors P(E) est de cardinal . Par exemple pour κ = 3 = {0, 1, 2}, regardons à nouveau l'ensemble des application de κ dans 2 = {0, 1}. Chaque application peut être vuecomme une règle pour fabriquer un sous-ensemble de κ : pour chaque élément de κ, si la flèche qui part de cet élément pointe vers 0 cela signifie qu'on ne le prend pas, et à l'inverse si elle pointe 1, qu'on le prend. Par exemple le premier cadre représente l'ensemble vide car toutes les flèches pointent vers 0, et le dernier l'ensemble κ tout entier, car les flèches pointent toutes vers 1.
Nous allons démontrer le théorème de Cantor qui s'énonce : « Pour tout ensemble E, card(E) < card(P(E)) », ce qui d'après les remarques précédentes revient à dire que pour cardinal κ, on a . Pour illustrer la démonstration, nous prendrons pour ensemble E = ω = {0, 1, 2, 3, 4...}. Des sous-ensembles de E sont par exemple Ø, ω, {19}, {1, 2, 5}, l'ensemble des entiers pairs, l'ensemble des multiples de 8 et pleins d'autres sous-ensembles que l'on ne peut même pas définir de façon explicite. L'injection triviale x |→ {x} nous permet déjà d'affirmer que card(E) < card(P(E)) :
Pour montrer la stricte inégalité, nous allons utiliser un raisonnement par l'absurde : on va supposer qu'il existe une bijection de E dans P(E), et montrer que cela nous conduis à une contradiction. Prenons donc une telle bijection, réalisée dans un ordre quelconque :
Il convient de détailler ce qu'on entend par l'ensemble X des entiers "appartenant à leur image". Par exemple pour notre l'hypothétique bijection, l'image de 0 est l'ensemble vide qui par définition ne contient aucun élément, donc 0 n'appartient pas à son image ! De même l'image de 1 est ω, qui contient tous les entiers donc certainement 1 aussi ; 2 étant premier et appartient à son image ; 3 étant plus petit que 55 appartient à son image, 4 ne divisant pas 10 n'appartient pas à son image, 5 appartient à l'ensemble des entiers impairs, 6 n'appartient pas à l'ensemble des multiples de 5 et ainsi de suite. Du coup notre ensemble en question est X = {0, 4, 6, ...}. Maintenant regardons de plus près l'unique entier n en correspondance avec l'ensemble X. D'un coté n appartient à son image, alors il n'appartient pas à X l'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à leur image, donc n n'appartient pas à son image ! De l'autre, si n n'appartient pas à son image, alors il appartient à l'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à leur image, qui n'est autre que son image X, donc il appartient à son image ! Finalement l'hypothèse d'une bijection entre E et P(E) est intenable, et on a bien card(E) < card(P(E)).
L'interêt de connaître le cardinal de l'ensemble des parties, est que cette opération est souvent utilisés pour construire de nouveaux objets mathématiques à partir d'objet déjà construits. Ainsi si E et F sont deux ensembles, une application de E dans F peut être vue comme un ensemble de couple (e, f) où e est un élément de départ dans E et f l'image dans F correspondante ; autrement dit un sous-ensemble du produit cartésien E ×F. Donc l'ensemble de toutes les applications de E dans F est un ensemble de sous-ensembles de E × F, c'est-à-dire un sous ensemble de P(E × F).
Ainsi, quand on construit l'ensemble des nombres réels à partir d'ensembles dénombrables, on voit que . Nous ne rentrerons pas dans le détail la construction des réels par exemple par les suites de Cauchy, mais si on considère qu'un réel écrit en base binaire n'est autre qu'une suite dénombrable de chiffres de 0 ou 1, alors il est représentable par une fonction de ω dans {0, 1}, ou encore un sous-ensemble de ω (même si il y a un problème car un réel peut avoir plusieurs écritures binaires différentes : ainsi 1 = 0,111111111...).
Il faut noter que parmi les ensembles de nombres, est le premier à ne pas être dénombrables. L'ensemble des nombres naturels est évidemment dénombrables. Il en est de même de l'ensemble des nombres relatifs, il suffit de le réorganiser en nombre positifs et négatifs pour le voir qu'il est en bijection avec ω + ω, donc ω : . Pour l'ensemble , il est clair que , puisque est infini. Ensuite, chaque rationnel s'écrit d'une unique façon sous la forme où p et q sont deux entiers premiers entre eux, et q sctrictement positif. Sous cette forme, on voit que s'injecte dans (qui est de cardinal ) en prenant pour image de le couple (p, q), et on a bien . On peut même continuer ainsi avec l'ensemble A des nombres algébriques, c'est-à-dire solutions des équations de la forme où le degré n et les coefficients sont des entiers (les peuvent être des rationnels, mais en multipliant par un entier bien choisi on retombe sur des coefficients entiers). En effet, le théorème fondamental de l'algèbre nous permet d'affirmer que chaque équation de degré n fournit au plus n solutions donc à chaque fois un nombre fini. Comme il n'y a qu'un nombre dénombrable d'équations possibles (un nombre dénombrable de coefficient ai pris parmi un nombre dénombrable de nombres entiers), on obtient un nombre dénombrable de solutions, et finalement . Une conséquence imméditate est que l'ensemble des nombres transcendants, c'est-à-dire non algébrique ( et pour ne citer que les plus connus) sont de cardinal où sinon ne le serait pas.
Le fait que pour les ensembles de nombres on passe directement de à amené Cantor à proposer qu'il n'y avait pas de cardinal intermédiaire entre celui de et . Autrement dit, est le plus petit cardinal indénombrable : . Cette conjecture, appelée « hypothèse du continu », s'étend pour tous les alephs sous la forme « hypothèse du continu généralisée » : . Celle-ci permet de déterminer toutes les valeurs de l'exponentiation cardinale. L'hypothèse du continue tient son appelation du fait que la droite continue peut être assimilée à . En fait tout intervalle ouvert ]a ; b[ peut être mis en bijection avec comme l'illustre le schéma ci-dessous :
Sur cette figure, la droite horizontale en haut représente l'ensemble des nombres réels, dont on peut voir un sous-ensemble, l'intervalle ]a ; b[. On a aussi placé un point O externe à la droite, et un demi-cercle de centre O. La bijection de dans ]a ; b[ est alors la suivante : pour tout point M de , on trace la droite (MO) qui coupe le demi-cercle en M', puis on projette ce point M' « verticalement » sur ]a ; b[ pour arriver au point M''. On laisse le lecteur se rendre compte de lui-même qu'il y a alors bien une correspondance bijective entre et ]a ; b[, en essayant diverses positions pour les points M et M''.
En fait, il n'y a pas lieu de se limiter simplement aux ouverts, les intervalles semi-ouverts ou fermés. Il suffit de remarquer que ]a ; b[ est contenu dans ]a ; b], [a ; b[ et [a ; b], eux même contenus dans , ce qui nous permet de situer leurs cardinaux à . Mieux encore, on n'est pas obligé de se réduire à la dimension 1, puisque on a (on utilise la règle ). Ainsi un produit cartésien à partir d'ensembles de cardinal , nous donne encore un ensemble de cardinal (notons au passage que l'affirmation card(E) = card(E × E) pour tout ensemble E requiert encore l'axiome du choix) : un disque, un cube, un espace affine à quatre dimensions etc Pour obtenir un exemple d'ensemble de cardinal supérieur, il faut encore passer par l'ensemble des parties. Ainsi l'ensemble des fonctions de dans est (comme on l'a suggéré précemment pour l'ensemble des applications de E dans F de cardinal .
Il est vrai que l'on avait dit pas de formalisme, mais d'une part on a du citer au long du texte l'axiome du choix ainsi que l'hypothèse du continu ; et d'autre part on va encore être conduit à parler d'axiomatique pour parler des axiomes des grands cardinaux. Si nous ne nous étendrons pas sur le sujet, mais il faut cependant savoir que toutes les propriétés que nous avons décrites pour les ordinaux et cardinaux découlent de ce qu'on appelle des axiomes, une liste d'affirmations supposées vérifiées pour tous les ensembles : deux ensembles sont égaux si ils ont exactement les même éléments, on peut regrouper les éléments d'ensembles pour former un nouvel ensemble, on peut choisir des éléments dans un ensemble pour former un nouvel ensemble, l'ensemble des partie d'un ensemble existe etc Il faut aussi citer l'axiome de l'infini qui nous autorise à construire l'ensemble ω, ou encore l'axiome de fondation qui dit que tous les ensembles sont du type que l'on va préciser dans la dernière partie.
Une fois que l'on a fixé un certain nombre de règle sur les ensembles, on peut toujours y ajouter certaines affirmations que l'on considère intéressantes, mais qui ne peuvent être déduites des axiomes. Les mathématiciens ont ainsi montré que l'on ne pouvait ni déduire l'axiome du choix, ni l'hypothèse du continu des propriétés que l'on s'est fixées. Il convient alors de décider s'il est utile de les ajouter à notre théorie voire de les réfuter. L'axiome du choix peut se résumer brièvement comme le fait qu'on a le droit de choisir et manipuler simultanément des éléments pris parmi une infinité d'ensembles.
Il s'agit donc d'un outil très puissant pour nos ensembles infinis, c'est d'ailleurs pourquoi on en a parlé plusieurs fois au long de l'article. Ainsi si il existe une injection d'un ensemble E dans un ensemble F, il existe toujours une surjection de F dans E, mais pour énoncer la réciproque, l'axiome du choix est nécessaire. Dans le cas où on admet cet axiome, on a alors card(E) < card(F) si et seulement si il existe une injection/surjection de E dans F, ce qu'on avait déjà vu dans le cas fini. Un autre point essentiel est le fait que l'on puisse représenter tous les cardinaux comme des ordinaux particuliers. En effet, l'axiome du choix implique le théorème de Zermelo qui dit que tout ensemble E est bien ordonnable, c'est-à-dire peut être rangé selon un certain type d'ordinal. Or nécessairement l'ordinal en question a autant d'éléments que E, c'est-à-dire de même cardinal, on a donc trouvé au moins un ordinal représentant card(E). Il ne reste plus qu'à définir card(E) comme le plus petit des ordinaux pouvant le représenter. L'axiome du choix a de nombreuses autres applications dans la théorie des ensembles ou dans d'autres domaines mathématiques, et bien qu'il aie longtemps été controversé du fait de ses conséquences paraissant « étranges », il est aujourd'hui accepté par la plupart des mathématiciens : on l'intègre dans notre théorie des ensembles.
Pour l'hypothèse du continu, la situation est différente, on ne ressent pas vraiment sa nécessité pratique. Dans notre article on a cité deux arguments qui pourraient plaider pour son adjonction. Le premier est qu'en regardant les objets mathématiques classiques on a vu que, du fait qu'ils se construisent par passage à l'ensemble des parties, on passe directement de à , ce qui laisse penser qu'il n'existe pas d'infini intermédiaire. D'une façon globale, l'hypothèse du continu généralisée nous permettrait de dire qu'il n'y a jamais d'infini intermédiaire entre un ensemble et l'ensemble de ses parties. Le second argument est d'ordre calculatoire. On a en effet expliquer le fonctionnement de l'exponentiation cardinale , mais on est incapable de donner le résultat précis parmi notre suite cardinal ... alors que l'hypothèse du continu généralisée facilite grandement ce calcul. Pourtant on opère une restriction dans les propriétés ensemblistes : peut-on réellement interdire des infinis intermédiaire sous prétexte que la théorie est plus simple ? On chosit par conséquent de garder une vision générale.
On va maintenant s'intéresser aux grands cardinaux, et plus précisément aux axiomes qui posent leur existence. Comme on l'a dit, pour autoriser l'usage de l'infini, on a introduit un axiome de l'infini dans notre théorie. L'idée est de considérer des formes fortes de cet axiome, c'est-à-dire fournissant des cardinaux encore plus grands : ce sont les axiomes des grands cardinaux. A noter que à l'instar du passage d'une « théorie des ensembles finis » à celle d'une « théorie des ensembles infinis » chaque fois que l'on augmente les possibilités de cardinalité par un axiome de grand cardinal on obtient une théorie strictement plus forte. D'une façon informelle, si on dispose de « gros » ensembles, on déduit qu'il existe des théories des ensembles plus « petits », en se restreignant à ces « petits » ensembles, tandis qu'en partant d'une théorie avec des « petits » ensembles on est pas certain qu'il puisse exister des ensembles ensembles plus « gros » : d'où l'obligation d'ajouter des axiomes. Les plus petits axiomes des grands cardinaux sont ceux qui posent l'existence de cardinaux inaccessibles. Ceux-ci sont définis comme étant indénombrables, réguliers et tels que pour tout cardinal α strictement inférieur, l'est aussi. On a vu précédemment que l'ensemble des parties permettaient d'obtenir des cardinaux strictement plus grands et ici on admet justement l'existence de cardinaux "inatteignable" par un passage répété à l'ensemble des parties. Il existent plusieurs cardinaux de ce genre, dont l'idée essentielle consiste en la recherche d'un prolongement idéal de la suite des ordinaux : on définit par induction ordinale pour tout ordinal α la portion de l'univers (, et ) et on imagine l'existence d'un cardinal κ tel que Vκ satisferait déjà tous les axiomes de la théorie des ensembles. De plus on entend par idéal le fait que pour certain type de formule à paramètres dans Vκ, leur valeur de vérité reste là même si élargit l'univers. Selon la complexité des types de formules considérées, on est amené à des définitions d'axiomes de plus en plus fort.
Pour monter encore plus haut, on adopte un autre point de vue. Au lieu de considérer une extension de l'univers des ensembles, on utilise l'équivalent d'une notion "isomorphisme" que l'on appelle plongement élémentaire. Informellement, on prend une portion M de l'univers V des ensembles et on plonge V dans M, en s'arrangeant pour que comme tout à l'heure, toutes propriétés vérifiées pour un type de formule données soit encore vraies après plongement dans M. Tout ceci est technique mais notons une nouvelle fois qu'en augmentant les conditions sur les formules, c'est-à-dire en augmentant le degré de ressemblance entre V et M, on obtient des axiomes de grands cardinaux de plus en plus forts : cardinaux mesurables, cardinaux de Woodin, cardinaux supercompacts et bien d'autres encore.
Nous voilà arrivé à la fin de la présentation de l'infini en mathématiques qui je conclus par une représentation schématique de l'univers V des ensembles. Les ensembles infinis qui comme on l'a vu s'élèvent de plus en plus peut voir sa hiérarchie représentée par une pyramide. Cependant il est plus judicieux de placer le sommet de cette pyramide en bas : on part du pied qui est l'ensemble vide puis on monte avec les ensembles finis, dénombrables... comme à chaque fois il y a de plus en plus d'ensembles il est naturel d'augmenter la largeur. Les ensembles étudiés jusqu'ici sont les ordinaux (et cardinaux comme cas particulier) : du fait de leur rôle central et de leur rangement naturel, ils sont placés au milieu et servent de pilier à la pyramide.
Les autres endroits de la pyramide représentent les ensembles que l'on peut construire à partir des ordinaux via les opérations ensemblistes usuelles. En particulier, le découpage à chaque étage par les correspond à la portion de la pyramide limitée en hauteur par l'ordinal α. Une autre manière de découper l'univers est de considérer pour chaque cardinal κ, l'ensemble des ensembles « hériditairement » de cardinalité strictement inférieur à κ, c'est-à-dire dont les éléments, les éléments des éléments, les éléments des éléments des éléments etc sont de cardinalité strictement inférieur à κ. Par exemple représente le monde du fini car ses éléments sont constitués d'ensemble de cardinalité strictement inférieur à , c'est-à-dire finis. De même est le monde des ensembles au plus dénombrables, celui des ensembles de cardinalité au plus et ainsi de suite. Rappelons que jusqu'ici, tous les ordinaux ont été construits à partir de l'ensemble vide et en conséquence il devrait en être de même de tous les ensembles de l'univers qui découlent des ordinaux. Cependant il peut à priori exister des ensembles parasites c'est-à-dire non construits à partir de l'ensemble vide, tel que l'ensemble des réels, des figures du plan, des fonctions continues... voir plus tordus des ensembles formant une suites infinie décroissante pour la relation d'appartenance : ... Pour éviter cela, on ajoute à notre théorie l'axiome de fondation qui assure que tous les ensembles de l'univers sont effectivement construit à partir de l'ensemble vide. Cette restriction évite les propriétés étrange du type x appartient x sans pour autant anihiler les objets mathématiques usuels (nombres réels, suites, fonctions...) qui intuivement ne sont pas en essence des ensembles construit à partir de l'ensemble vide. En effet, à l'instar de ce que l'on a fait pour les nombres entiers naturels, on montre que tous ces objets sont "représentables" par des ensembles construits à partir de l'ensemble vide. C'est un fait commun en mathématiques de s'intéresser avant-tout aux propriétés des objets et par conséquent d'assimiler ceux qui sont équivalents.
Je vous laisse finalement contempler l'univers des ensembles, en espérant que ce voyage vers l'infini vous a plu et en rappelant que pour les plus hautes altitudes, il nous reste encore beaucoup de secrets à découvrir...
