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  • Trigonométrie (4e et 3e)
  • Construction de triangle et théorème d'Al-Kashi (5e à 3e)

Introduction

Cet exercice peut être vu comme un problème où l'on s'intéresse à la construction de triangle. Cependant, les connaissances requises s'étendent sur plusieurs niveaux fixés ici de la 5e à la 3e. Néanmoins, certaines parties nécessitent un niveau lycée et malgré les simplifications, qui ont par ailleurs empêché d'aborder complètement tous les points, l'exercice peut rester assez difficile pour le collégien. J'espère cependant qu'il permettra à certain de mieux comprendre les relations entre longueurs et angles d'un triangle.

Remarque : Dans toute la suite, on appellera triangle un ensemble de trois points distincts, de sorte que les angles sont toujours définis (modulo 360°) et les longueurs des cotés non nuls.

Construction de triangle (5e)

Dans cette partie, on s'intérresse à la possibilité de construire ou non un triangle à partir de données fournies. On montre aussi par des contre-exemples que si elles sont en nombre insuffisant, il n'y a pas unicité de la construction.

1. (condition sur les longueurs) Rappelez l'inégalité triangulaire. Dans quel cas y a-t-il égalité ? Tracez si possible les triangles dont les longueurs de cotés sont :
   • 7cm, 12cm, 12cm
   • 6cm, 10cm, 12cm
   • 11cm, 5cm, 4cm
   • 11cm, 9cm, 11cm
   • 10cm, 12cm, 10cm
2. (une longueur fixée) Dessinez un triangle ABC et placez un point C' pour que ABC et ABC' ne possède qu'une seule longueur en commun.
3. (deux longueurs fixées) Dessinez un triangle ABC et placez un point C' sur le cercle de centre A et de rayon AC pour que ABC et ABC' ne possède seulement que deux longueurs en commun.
4. (condition sur les angles) Rappelez la relation entre les trois angles d'un triangle. On connait deux angles $\hat{A}$ et $\hat{B}$ d'un triangle. Parmi les propositions suivantes, lesquelles permettent de construire un triangle ? Déterminez alors l'angle $\hat{C}$ dans ces cas.
   • $\hat{A}=115°$ et $\hat{B}=113°$
   • $\hat{A}=134°$ et $\hat{B}=127°$
   • $\hat{A}=76°$ et $\hat{B}=50°$
   • $\hat{A}=149°$ et $\hat{B}=23°$
   • $\hat{A}=100°$ et $\hat{B}=74°$
5. (un angle fixé) Dessinez un triangle ABC et placez B' et C' respectivement sur [AB) et [AC) pour que ABC et AB'C' ne possède seulement qu'une mesure d'angle en commun.
6. (deux ou trois angles fixés) Dessinez deux triangles ABC et AB'C' ayant deux (donc a fortiori trois) angles respectivement égaux, mais dont les longueurs des cotés sont deux à deux distinctes.
7. (un angle et une longueur fixés) Dessinez un triangle ABC et placez un point C' sur [AC) pour que ABC et ABC' ne possède qu'une longueur et un angle en commun.

Présentation du théorème (4e - 3e)

Énoncé

Notre objectif est de démontrer le théorème d'Al-Kashi, pouvant être vu comme une généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque et qui s'énonce ainsi :

D'une façon plus formelle, dans tout triangle ABC on a l'égalité suivante :

Cette formule ne se distinguant du théorème de Pythagore que par un terme utilisant le cosinus peut être comprise des élèves de 4e. Par contre la démonstration proposée ici, ainsi que certaines applications ne pourront être accessibles qu'avec au moins un niveau 3e.

Remarque sur les fonctions trigonométriques

La définition du cosinus d'un angle vue au collège ne s'applique qu'à des angles aigus, c'est-à-dire compris entre 0° et 90°. En effet, elle est définie avec un triangle rectangle, or la somme des angles d'un triangle faisant 180° alors si l'un des trois mesure 90° la somme des deux autres, et a fortiori la mesure de chacun d'entre eux, est inférieur à 90°.

Il est important de noter que le théorème d'Al-Kashi s'applique à n'importe quel triangle et a priori l'angle utilisé dans la formule peut être optus, c'est-à-dire entre 90° et 180°. En réalité vous avez sûrement déjà demandé à votre calculette le cosinus d'un angle non aigu et constaté quelle ne retournait pas d'erreur.

En fait, vous verrez plus tard que le cosinus ainsi que le sinus sont définis pour n'importe quel nombre réel. A l'instar des "identités remarquables", il existe des formules "trigonométriques" où cosinus et sinus interviennent. Un certain nombre d'entre elles permettent ainsi de reporter la définition à celle vu au collège, c'est-à-dire pour les angles compris entre 0° et 90° (bien qu'il faille encore lui donner un sens pour les cas limites 0° et 90°).

Ainsi, la mesure d'un angle peut toujours se ramener entre 0° et 360° (par exemple un angle de -90° correspond à un angle 270°, un angle de 500° à un angle de 140°) et donc cos(a + 360°) = cos a. Plus précisément on montre que cos(a + 180°) = -cos(a). Les formules sont encore valable en remplaçant cosinus par sinus et il ne reste donc qu'à les définir entre -90° et 90°. Cela se fait par les deux formules (notez la distinction) cos(-a) = cos(a) et sin(-a) = -sin(a).

Ces formules sont ici données à titre indicatif et n'interviennent pas dans les exercices. Par contre, pour la démonstration du théorème, on admettra les formules suivantes :

Calcul de longueurs et d'angles d'un triangle (4e - 3e)

On étudie maintenant les cas non traités dans la partie « Construction de triangle », en remarquant que le théorème d'Al-Kashi permet la plupart du temps de déterminer à partir d'au moins trois données (dont une longueur) toutes les autres.

1. (trois longueurs fixées) En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux angles $\hat{A}$, $\hat{B}$ et $\hat{C}$, exprimer leur cosinus en fonction de AB, AC et BC.
   Calculez ces angles pour AB = 11 cm, AC = 14 cm et BC = 20 cm.
2. (deux longueurs et un angle fixés)
   • On suppose tout d'abord que les longueurs connues sont celles des cotés AB et AC formant l'angle $\hat{A}$. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, exprimez BC en fonction de ces trois données. Appliquez ceci pour trouver BC si AB = 15 cm, AC = 11 cm et $\hat{A}$ = 21°.
   • Sur la figure ci-dessous, on a tracé le segment [AB] de longueur supposée connue et formant un angle fixé avec une autre droite. Tracez des cercles de centre B et de différents rayon (représentant la deuxième longueur fixée). Combien peut-il y avoir de triangles constructibles ?
     Segment vertical contenant le point A. Le segment [AB] forme un angle aigu avec celui ci. A B
   • (niveau 3e) La résolution générale mène en réalité à une équation du second degré, que vous n'étudierez qu'en première. On va s'interressez ici à un cas simple. On suppose $\cos \hat{A}=\frac{1}{3}$, $\mathrm{AB}=30$ et ${\mathrm{BC}}^2=825$. Appliquer Al-Kashi à l'angle $\hat{A}$, et y substituer les valeurs données pour obtenir une équation d'inconnue AC. Développez l'expression (AC - 15)(AC - 5). En déduire les valeurs possible de AC.
3. (deux angles et une longueur fixés)
   • Rappelez comment déduire le troisième angle
   • Comment obtenir les longueurs si le triangle possède un angle droit ?
   • On suppose maintenant le triangle non rectangle. Appliquez le théorème d'Al-Kashi aux angles $\hat{A}$ et $\hat{B}$, additionnez membre à membre et en déduire après simplification que $\mathrm{AB}=\left(\mathrm{AC}\times \cos \hat{A}+\mathrm{BC}\times \cos \hat{B}\right)$. Trouvez par permutation circulaire une expression analogue où apparait $\hat{C}$. On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues, que l'on peut résoudre.

Caractérisation de triangles rectangles, isocèles et équilatéraux (4e - 3e)

Dans tout cet exercice on s'intéresse à un triangle ABC de coté non nuls. On définit un triangle isocèle et équilatéral comme un triangle ayant respectivement deux ou trois cotés égaux. On souhaite montrer que ces définitions à partir des d'égalité de cotés sont équivalentes à celles à partir d'égalité d'angles. On admet que deux angles de mesures comprises entre 0° et 180° ayant le même cosinus sont égaux.

1. Rappelez la définition à partir d'un angle d'un triangle rectangle. Quelle définition pourrait on donner à partir des longueurs ?
2. Appliquer le théorème d'Al-Kashi pour obtenir une expression de cos $\hat{B}$ et cos $\hat{C}$.
3. On suppose ABC isocèle en A, c'est-à-dire AB = AC. A partir des expressions précédentes, montrez que $\left(2\times \mathrm{AB}\times \mathrm{BC}\right)\left(\cos \hat{B}-\cos \hat{C}\right)=0$. Justifiez que le deuxième facteur est nul puis que $\hat{B}$ = $\hat{C}$.
4. En reprenant les égalités de la première question, montrez que si $\hat{B}$ = $\hat{C}$ alors on a ${\mathrm{AB}}^3-{\mathrm{AC}}^3-\left(\mathrm{AB}-\mathrm{AC}\right){\mathrm{BC}}^2+\mathrm{AC}\times {\mathrm{AB}}^2-\mathrm{AB}\times {\mathrm{AC}}^2=0$.
5. Développez l'expression $\left(\mathrm{AB}-\mathrm{BC}\right)({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2)$. En déduire que si ABC n'est par rectangle en A, alors AB = AC.
6. On suppose maintenant ABC rectangle en A. En exprimant dans ce triangle rectangle les cosinus de $\hat{B}$ et $\hat{C}$, montrez que si ces angles sont égaux alors AB = AC.
7. Justifiez qu'un triangle est isocèle en un de ses sommets si et seulement si les angles correspondant aux deux autres sommets sont égaux.
8. En déduire qu'un triangle est équilatéral si et seulement si il possède trois angles de 60°.

Prolongement du cosinus (4e - 3e)

Dans cette exercice, on admet que l'égalité I s'applique à des angles particuliers, et on cherche alors à déterminer la valeur du cosinus de ces angles en appliquant le théorème d'Al-Kashi à un triangle ABC qui possèderait un tel angle.

1. $\hat{A}$ = 90°. Utiliser le théorème de Pythagore et en déduire que cos 90° = 0.
2. $\hat{A}$ = 180°. Exprimez BC en fonction de AB et AC puis par une identité remarquable, calculez BC². En déduire que cos 180° = -1.
3. $\hat{A}$ = 0°. Procédez de même en distinguant le cas où AC est plus grand que AB et celui ou il est plus petit.
4. Mettez au carré l'inégalité triangulaire BC ≤ AB + AC pour démontrer que cos $\hat{A}$ ≥ -1

Démonstration du théorème (3e)

Soit ABC un triangle, et H le pied de la hauteur issue de A. Dans cet exercice, on étudie simultanément les trois positions possibles de H. Vous pouvez d'abord effectuer l'exercice en choisissant un seul cas, puis vérifiez que la démonstration fonctionne pour tous les cas.

1. Exprimez BC en fonction de BH et CH. En déduire BC² en utilisant une identité remarquable.
2. Appliquez le théorème de pythagore à deux triangles et en déduire que BC² = AB² + AC² - 2(AH² ± BH×CH)
3. Exprimez $\widehat{\mathrm{BAC}}$ en fontion de $\widehat{\mathrm{BAH}}$ et $\widehat{\mathrm{CAH}}$, puis développez cos($\widehat{\mathrm{BAC}}$) en utilisant une des égalités II ou III.
4. Exprimez les cosinus et sinus des angles $\widehat{\mathrm{BAH}}$ et $\widehat{\mathrm{CAH}}$ et en déduire une nouvelle expression de cos $\widehat{\mathrm{BAC}}$.
5. Retrouvez alors l'égalité I pour conclure.

Corrigé

Construction de triangle

1. (condition sur les longueurs) Pour un triangle ABC, la longueur d'un coté est inférieure ou égale à la somme des deux autres. Par exemple AB ≤ AC + BC. L'égalité se produit pour un triangle « aplati », c'est-à-dire si les trois points sont alignés. Dans le cas où le triangle n'est pas contructible, on a un coté dont la longueur est strictement supérieure à la somme des deux autres et a fortiori de chacune des deux autres : c'est alors le plus grand coté. Ainsi, pour vérifier dans les cinq propositions qu'un triangle est constructible, on compare la longueur du plus grand coté avec la somme des deux autres. Si elle est inférieure, on peut contruire le triangle à l'aide du compas...
2. (une longueur fixée) Sur le dessin ci-dessous, les triangles ABC et ABC' possèdent une seule longueur commune qui est AB. Le point C' a été placé de sorte que AC' et BC' soient respectivement strictement supérieurs à AC et BC. On voit que les angles $\widehat{\mathrm{CAB}}$ et $\widehat{\mathrm{CBA}}$ sont respectivement distincts de $\widehat{\mathrm{C\text{'}AB}}$ et $\widehat{\mathrm{C\text{'}BA}}$, ou sinon les cotés les formant se superposeraient. Enfin, on a reporté $\widehat{\mathrm{ACB}}$ en pointillés bleus au niveau de $\widehat{\mathrm{A\text{'}CB}}$ pour constater qu'il sont eux aussi distincts.
   Deux triangles ABC et ABC' avec un coté en commun. A B C C'
3. (deux longueurs fixées) Sur le schéma ci-dessous, on a tracé un triangle ABC, ainsi qu'en pointillés bleus le cercle de centre A et de rayon AC. Le point C' a été placé sur ce cercle de façon a obtenir un triangle ABC' qui aie deux longueurs en communs avec ABC (AB et AC = AC'). cependant, on a BC' < BC, $\widehat{\mathrm{C\text{'}BA}}$ > $\widehat{\mathrm{CBA}}$, $\widehat{\mathrm{AC\text{'}B}}$ > $\widehat{\mathrm{ACB}}$ et $\widehat{\mathrm{C\text{'}AB}}$ < $\widehat{\mathrm{CAB}}$.
   Deux triangles ABC et ABC' avec C et C' appartenant à un cercle de centre A. A B C C'
4. (condition sur les angles) Dans un triangle, la somme des angles fait 180°. Ainsi, les propositions où $\hat{A}$ + $\hat{B}$ dépasse déjà 180° sont impossible. Dans le cas contraire, on calcule $\hat{C}$ grâce à l'égalité $\hat{C}$ = 180° - $\hat{A}$ - $\hat{B}$.
5. (un angle fixé) Sur le dessin ci-dessous, les triangles ABC et AB'C' possèdent l'angle $\hat{A}$ en commun. En pointillé, on a tracé le segment [B'C''] pour que ABC et AB'C'' possèdent tous leur angles égaux, c'est-à-dire parallèlement à (BC) (vous verrez la notion d'angles correspondants en 4e). De plus les longueurs des cotés de AB'C'' sont plus grande que celle de ABC (et même multipliés par un même coefficient, comme vous l'apprendrez avec Thalès ou les triangles semblables). Palcer C' comme sur le schéma permet alors d'obtenir un triangles ABC' dont les cotés sont plus grands que ceux de ABC'' et a fortiori strictement plus grands que ceux de ABC, et dont deux angles sont distincts de ceux de ABC'' donc de ABC.
   Deux triangles ABC et AB'C'. A, C, C' alignés dans cet ordre. A, B, B'' alignés dans cet ordre. C'' sur ]C ; C'[ A B C B' C' C''
6. (deux ou trois angles fixés) On a vu précédemment que la connaissance de deux angles d'un triangle déterminait le troisième. Ainsi, si deux triangles on deux angles respectifs égaux, ils en ont forcément trois. Néanmoins, rien ne détermine la longueur de leurs cotés comme on l'a vu sur le schéma de la question précédente, avec les triangles ABC et ABC'' dont les angles respectifs sont égaux, mais avec des cotés plus grands pour ABC'' que pour ABC.
7. (un angle et une longueur fixés) Sur le dessin ci-dessous, on a tracé un triangle ABC et placé C' sur [AC) de sorte que les triangles ABC et ABC' aient une longueur et un angle en commun (AB et $\hat{A}$), mais les autres angles et cotés respectifs ne sont pas égaux.
   Triangles ABC et ABC' avec A, C, C' alignés. A B C C'

Calcul de longueurs et d'angles d'un triangle

1. (trois longueurs fixées) On a par exemple cos $\hat{A}$ = (AB² + AC² - BC²) ÷ (2×AB×AC), ce qui donne $\hat{A}$ ? 105.69°. Idem pour les autres angles (pour le dernier, on peut utiliser le faites que la somme des trois est 180°).
2. (deux longueurs et un angle fixés)
   • L'égalité I donne BC², et il n'y a qu'à prendre la racine carré. Pour les données fournies, on trouve BC = 22.95 cm. On connait alors les trois longueurs des cotés, donc par la première question, on peut en déduire tous les angles.
   • Selon le nombre de points d'intersection des cercles avec la demi-droite orange, on voit qu'il peut y avoir zéro, un ou deux triangles constructibles.
     Segment vertical contenant le point A. Le segment [AB] forme un angle aigu avec celui ci. La demi-droite de sommet A formant cet angle en orange. Plusieurs cercles de centre A de différents rayons. A B
   • Vous devez retrouvez la même expression en développant. Ensuite, en utilisant le fait qu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de facteurs l'est, vous obtenez 15 et 5 pour valeurs possible de AC
3. (deux angles et une longueur fixés)
   • En utilisant le fait que la somme des trois angles vaut 180°.
   • En utilisant la trigonométrie et/ou le théorème de Pythagore.
   • On a :
     BC² = AB² + AC² - 2AB×AC×cos $\hat{A}$
     AC² = AB² + BC² - 2AB×BC×cos $\hat{B}$
     d'où BC² + AC² = AB² + AC² - 2AB×AC×cos $\hat{A}$ + AB² + BC² - 2AB×BC×cos $\hat{B}$
     0 = 2AB² - 2AB(AC×cos $\hat{A}$ + BC×cos $\hat{B}$)
     On peut diviser par 2AB qui n'est pas nul, d'où
     AB = (AC×cos $\hat{A}$ + BC×cos $\hat{B}$). De même, on aurait par exemple AC = (AB×cos $\hat{A}$ + BC×cos $\hat{C}$) en échangeant les rôles de B et C.

Caractérisation de triangles rectangles, isocèles et équilatéraux

1. Un triangle est rectangle si et seulement si il possède un angle droit. Le théorème de Pythagore nous permet d'en donner une définition équivalente en termes de longueurs : « Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand coté est égal à la somme des carrés des deux autres cotés ».
2. Il suffit d'utiliser l'égalité I selon les angles demandés, puis d'isoler les cosinus.
3. Comme AB = AC, on peut par exemple remplacer partout AC par AB et on a alors (2×AB×BC)(cos $\hat{B}$ - cos $\hat{C}$) = AB² + BC² - AB² + AB² - AB² - BC² = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Ainsi 2×AB×BC n'étant pas nul (car AB et BC ne le sont pas) on a alors cos $\hat{B}$ - cos $\hat{C}$ = 0, d'où cos $\hat{B}$ = cos $\hat{C}$ et les angles $\hat{B}$ et $\hat{C}$ étant compris entre 0° et 180° et ayant même cosinus, ils sont égaux.
4. Les angles étant égaux, on a cos $\hat{B}$ = cos $\hat{C}$. Ainsi en remplaçant par les égalités de la première question, en multipliant les deux membres par AB×AC, et en mettant tout du même coté on obtient l'égalité demandée.
5. Le développement nous permet de retrouver le membre de gauche de l'égalité précédente. Si ABC n'est pas rectangle en A, alors par la contraposée du théorème de Pythagore, AB² + AC² n'est pas égal à BC², et non AB² + AC² - BC² est non nul. Une nouvelle fois on utilise la règle sur un produit de facteur non nul pour justifier que AB - AC = 0 et donc AB = AC.
6. On a $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ = cos $\hat{B}$ = cos $\hat{C}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$, d'où en multipliant membre à membre par BC, AB = AC.
7. Il ne s'agit que d'un récapitulatif de ce qu'on a démontré. La deuxième question nous a permis de montrer que si un triangle était isocèle en A, c'est-à-dire AB = AC, alors $\hat{B}$ = $\hat{C}$. De la même façon, on a prouver la réciproque, on a distingué les cas où ABC était ou non rectangle en A.
8. On se sert de la propriété précédente en constatant qu'un triangle équilatéral est isocèle en deux sommets. ABC équilatéral si et seulement si AB = AC et AC = BC si et seulement si $\hat{B}$ = $\hat{C}$ et $\hat{A}$ = $\hat{C}$ si et seulement si il possède trois angles égaux. Ainsi, si les trois angles mesures 60° alors ABC est équilatéral, et inversement, si les trois angles mesurent une certaine valeur x, alors la somme de ses angles vaut x + x + x = 3x = 180° d'où x = 60°.

Prolongement du cosinus

On utilise le théorème d'Al-Kashi : BC² = AB² + AC² - 2×AB×AC×cos $\hat{A}$ (égalté I)

1. On applique le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC². D'où en soustrayant membre à membre avec l'égalité I : 2×AB×AC×cos $\hat{A}$ = 0. Un produit étant nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, cos $\hat{A}$ = cos 90° = 0 car les cotés AB et AC sont non nuls.
2. BC = AB + AC, donc BC² = AB² + 2×AB×AC + AC², d'où en soustrayant l'égalité I, 2×AB×AC + 2×AB×AC×cos $\hat{A}$ = 0 et en factorisant, 2×AB×AC×(1 + cos $\hat{A}$) = 0. Comme précédemment, on a alors 1 + cos $\hat{A}$ = 0, et enfin cos $\hat{A}$ = cos 180° = -1.
3. Deux cas se présentent selon les positions relatives de B et C, à savoir BC = AC - AB ou BC = AB - AC. Dans les deux cas, on a BC² = AB² - 2×AB×AC + AC². Puis par un raisonnement analogue à la question précédente, -1 + cos $\hat{A}$ = 0, et enfin cos $\hat{A}$ = cos 0° = 1.
4. Les deux membres étant positifs, on peut mettre au carré sans changer le sens de l'inégalité : BC² ≤ AB² + AC² + 2AB×AC. Par ailleurs, BC² = AB² + AC² - 2AB×AC×cos $\hat{A}$, d'où -2AB×AC×cos $\hat{A}$ ? 2AB×AC, puis en divisant par -2AB×AC qui est négatif, on change le sens de l'inégalité cos $\hat{A}$ ? -1. En réalité, on le cosinus de n'importe quel angle varie entre -1 et +1 qui sont les bornes trouvées aux question précédente pour 180° et 0°. Si sais ceci, on peut faire le raisonnement à l'envers et démontrer l'inégalité triangulaire.

Démonstration du théorème

1. • BC² = (CH - BH)² = BH² + CH² - 2×BH×CH.
   • BC² = (BH + CH)² = BH² + CH² + 2×BH×CH.
   • BC² = (BH - CH)² = BH² + CH² - 2×BH×CH.
   Finalement, BC² = (BH - CH)² = BH² + CH² ± 2×BH×CH.
2. On applique évidemment le théorème de Pythagore à ABH et ACH. On trouve alors BH² = AB² - AH² et CH² = AC² - AH². D'où l'égalité voulue en substituant BH² et CH² dans l'expression de la première question.
3. • D'après l'égalité III, on a cos $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = cos($\widehat{\mathrm{HAC}}$ - $\widehat{\mathrm{HAB}}$) = cos $\widehat{\mathrm{HAC}}$ cos $\widehat{\mathrm{HAB}}$ + sin $\widehat{\mathrm{HAC}}$ sin $\widehat{\mathrm{HAB}}$
   • D'après l'égalité II, on a cos $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = cos($\widehat{\mathrm{HAC}}$ + $\widehat{\mathrm{HAB}}$) = cos $\widehat{\mathrm{HAC}}$ cos $\widehat{\mathrm{HAB}}$ - sin $\widehat{\mathrm{HAC}}$ sin $\widehat{\mathrm{HAB}}$
   • D'après l'égalité III, on a cos $\widehat{\mathrm{BAC}}$ = cos($\widehat{\mathrm{HAB}}$ - $\widehat{\mathrm{HAC}}$) = cos $\widehat{\mathrm{HAB}}$ cos $\widehat{\mathrm{HAC}}$ + sin $\widehat{\mathrm{HAB}}$ sin $\widehat{\mathrm{HAC}}$
4. Dans les triangles HAC et HAB rectangles en H, on a :
   • cos $\widehat{\mathrm{HAC}}$ = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}$
   • sin $\widehat{\mathrm{HAB}}$ = $\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}$
   • cos $\widehat{\mathrm{HAC}}$ = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}$
   • sin $\widehat{\mathrm{HAB}}$ = $\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}$
   Dans les trois cas, on trouve alors $\cos \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}\pm \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AC}}$, où le signe ± est l'opposé de celui de la deuxième question, c'est-à-dire un - pour le deuxième cas et un + pour les deux autres.
5. Dans tous les cas, on a $\mathrm{AB}\times \mathrm{AC}\times \cos \widehat{\mathrm{ABC}}={\mathrm{AH}}^2\pm \mathrm{BH}\times \mathrm{CH}$, d'où en remplaçant dans l'égalité de la deuxième réponse, ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2\cos \hat{A}$. CQFD.

Remarque : une démonstration plus simple existe, mais elle nécessite l'utilisation du produit scalaire qui n'est vu qu'en première :

${\mathrm{BC}}^2={\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2={(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})}^2={\overrightarrow{\mathrm{BA}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{BA}}\overrightarrow{.\mathrm{AC}}={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2\times \mathrm{AB}\times \mathrm{AC}\times \cos \hat{A}$

Conclusion

Voici les points essentiels à retenir de ce problème :

• (Inégalité triangulaire) Dans un triangle, la longueur d'un coté est inférieur à la somme des deux autres. En particulier, si on dispose des longueur des cotés, le triangle est constructible si et seulement si la longueur du plus grand coté est inférieur à la somme des deux autres. L'égalité correspond à un triangle applati.
• (Somme des angles) Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°. Si on connait deux des angles, alors si leur somme excède 180° on ne peut pas construire le triangle. Sinon on peut déduire le troisième angle.
• (une ou deux données fixées) Si on ne connait que une ou deux données sur un triangle, alors plusieurs constructions sont possibles. De même si on connait trois angles car par la remarque précédente, cela revient au même que si l'on en connaissait deux.
• (trois données fixées) Si on connait trois données sur un triangle, avec parmi celles-ci la longueur d'un coté, alors on peut en déduire toutes les autres par le théorème d'Al-Kashi. Une exception à retenir : la connaissance d'un angle et de deux cotés ne formant pas cet angle peut mèner à deux triangles possibles.
• (cosinus) Le cosinus se prolonge à tous les angles mais reprend la même valeur après un tour de 360°. On a en particulier cos 0° = 1, cos 90° = 0 et cos 180° = -1. Le cosinus d'un angle varie entre -1 et +1.
• (théorème d'Al-Kashi) « Dans un triangle, le carré d'un coté est égal à la somme des carrés des deux autres cotés diminuée du double produit de ces deux cotés avec le cosinus de l'angle qu'ils forment. »
• (caractérisation de triangle particulier) Un triangle est rectangle si et seulement si il possède un angle droit si et seulement si le carré du plus grand coté est égal à la somme des carrés des deux autres cotés. Un triangle est isocèle si et seulement si il possède deux cotés égaux si et seulement si il possède deux angles égaux. Un triangle est équilatéral si et seulement si il possède trois cotés égaux si et seulement si ses trois angles mesurent 60°.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : jeudi 27 avril 2006