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Rappels du cours
Triangle rectangle
Un triangle est dit rectangle, si il possède un angle droit. Son plus grand coté est appelé hypoténuse.
Théorème de pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
Réciproque du théorème
Si dans un triangle, le carré d'un des cotés* est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle.
Contraposée du théorème
Si un triangle ne possède aucun de ses cotés* qui ait son carré égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Remarque
* Pour la réciproque et la contraposée, il suffit de vérifier pour le plus grand coté, qui est le seul pouvant être hypoténuse.
Exercices de base
Calcul d'un coté à partir des deux autres
- ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 18 cm et AC = 24 cm. Calculez BC.
- DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 6 cm et BF = 13 cm. Calculez un arrondi de DF.
- GHI est un triangle rectangle en G tel que GH = 4 cm et GI = 5 cm. Calculez un arrondi de HI.
- JKL est un triangle rectangle en J tel que JL = 7 cm et KL = 13 cm. Calculez un arrondi de JK.
Solutions
- BC = 30 cm.
- DF ? 11.532562594671 cm.
- HI ? 6.4031242374328 cm.
- JK ? 10.954451150103 cm.
Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore
A l'aide des dimensions de leur cotés, dire si ces triangles sont rectangles :
- TGV tel que TG=32.85 cm, TV=43.8 cm et TV=54.75 cm.
- RST tel que RS=30 cm, RT=40 cm et RT=4999.97 cm.
- HLM tel que HL=21.57 cm, HM=28.76 cm et HM=3595.02 cm.
- GPS tel que GP=27.78 cm, GS=37.04 cm et GS=46.3 cm.
Solutions
- Le triangle TGV est rectangle en T.
- Le triangle RST n'est pas rectangle.
- Le triangle HLM n'est pas rectangle.
- Le triangle GPS est rectangle en G.
Exercices Divers
Le théorème de Pythagore et sa réciproque
Sur la figure ci-contre où l'on ne sait pas si les points E, A, C sont alignés, on a :
AE = 480mm, EB = 600 mm, AD = 216mm , CD=162mm et BC = 450mm.
Démontrez que ABC est un triangle rectangle.
Solution
Dans le triangle ABE rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a :
EB2 = AE2 + AB2, AB2 = EB2 - AE2,
AB2 = 6002 - 4802,
AB2 = 129600,
AB = 360 mm.
Dans le triangle DAC rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC2 = AD2 + CD2,
AC2 = 2162 + 1622,
AC2 = 72900,
AC = 270
BC2 = 4502 = 202500.
AB2 + AC2 = 3602 + 2702 = 202500
Donc dans le triangle ABC, on a BC2 = AB2 + AC2 et d'après la réciproque du théorème de
Pythagore, ce triangle est rectangle en A.
Construction de la racine carré d'un nombre
- Utilisez le théorème de pythagore pour exprimer AB2 en fonction de AH et BH, ainsi que AC2 en fonction de AH et CH.
- En se servant des résultats de la questions 1), montrez que AB2 + AC2 = 2AH2 + BH2 + CH2.
- Démontrez alors que BC2 = AB2 + AC2, et donc que BC2 = 2AH2 + BH2 + CH2 (égalité 1)
- En admettant que BC2 = 2 × BH × CH + BH2 + CH 2 (égalité 2), montrez à l'aide du 3), que AH2 = BH × CH.
- Finalement, en posant BH = 1 et CH = x, trouvez une longueur sur la figure qui soit exactement égale à .
Solutions
- On applique le théorème de Pythagore :
Dans le triangle ABH, on a AB2 = AH2 + BH2 et dans le triangle ACH, on a AC2 = AH2 + CH2
- AB2 + AC2 = AH2 + BH2 + AH2 + CH2 = 2AH2 + BH2 + CH2
- Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que dans le triangle ABC, on a BC2 = AB2 + AC2.
En reprenant l'égalité du 2) on peut écrire BC2 = 2AH2 + BH2 + CH2.
- En se servant des deux expressions de BC2 (égalité 1 et égalité 2),
on déduit l'égalité :
2AH2 + BH2 + CH2 = 2 × BH × CH + BH2 + CH2
2AH2 = 2 × BH × CH
AH2 = BH × CH.
- L'égalité AH2 = BH × CH nous permet de trouver immédiatement AH2 = 1 × x, AH2 = x et
AH =
Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur :
Frédéric WANG - Dernière mise à jour : jeudi 24 février 2003
