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  • Base non triviale d'un espace vectoriel

Énoncé de l'exercice

On désigne par $A$ le corps des nombres algébriques, c'est-à-dire des nombres réels racines d'un polynôme à coefficients entiers. Dans cet exercice, on n'utilise pas l'axiome du choix et on peut admettre le résultat suivant : tout ensemble infini s'injectant dans $\mathbb{N}$ est dénombrable.

1. Montrer que l'ensemble des polynômes à coefficients algébriques $A\left[X\right]$ muni des opérations usuelles est un $\mathbb{Q}$-ev de dimension infini.
2. Construire une base de $A\left[X\right]$.

Exercice guidé

Espace vectoriel de dimension infini

1. Vérifier que $\left(A\left[X\right],+\right)$ a une structure de groupe abélien.
2. Vérifier que tout rationnel $\frac{p}{q}$ est algébrique.
3. En déduire que pour tout $\lambda \in \mathbb{Q}$ et $P\in A\left[X\right]$, $\lambda .P\in A\left[X\right]$ puis que $\left(A\left[X\right],+,.\right)$ est un espace vectoriel.
4. Montrer que la suite de polynômes ${\left(X^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une famille libre de vecteurs.
5. Vérifier que la famille précédente n'est pas une base (considérer par exemple le polynôme $\sqrt{2}{X}^3$)

Ensemble des polynômes sur un ensemble dénombrable

Soit $D$ un ensemble dénombrable avec $0\in D$. On note $D\left[X\right]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $D$, i.e. des suites de $D$ avec un nombre fini d'éléments non nuls. Soient $f:D\to \mathbb{N}$ bijective avec $f\left(0\right)=0$ et ${\left(p_i\right)}_{i\in \mathbb{N}}$ la suite des nombres premiers.

1. Montrer que l'application suivante est bien définie :
   $g:\mid \begin{array}{c}D\left[X\right]\to \mathbb{N}\\ \sum _{i=0}^{+\infty }{a}_i{X}^i\mapsto \prod _{i\in \mathbb{N}}{p_i}^{f\left(a_i\right)}\end{array}$
2. Montrer que $g$ est injective.
3. En déduire que $D\left[X\right]$ est dénombrable.

Étude de l'ensemble des nombres algébriques

1. Montrer que $\mathbb{Z}\left[X\right]$ est dénombrable. Soit alors ${\left(P_i\right)}_{i\in \mathbb{N}}$ une énumération des éléments de $\mathbb{Z}\left[X\right]$.
2. Montrer que la fonction suivante est bien définie (avec pour convention $min\varnothing =\infty$ ) : $u_i\left(n\right)=min\left\{r\in ℝ\backslash u_i\left([0;n-1]\right)|P_i\left(r\right)=0\right\}$.
3. Pour toute racine $r$ de $P_i$, montrer qu'il existe un unique entier $v_i\left(r\right)$ tel que $u_i\left(v_i\left(r\right)\right)=r$.
4. Vérifier que l'application suivante est bien définie :

   $f:\mid \begin{array}{c}A\to \mathbb{N}\\ r\mapsto min\left\{i\in \mathbb{N}|P_i\left(r\right)=0\right\}\end{array}$

5. En déduire que l'application suivante est bien définie et est injective :
   $g:\mid \begin{array}{c}A\to {\mathbb{N}}^2\\ r\mapsto \left(f\left(r\right),v_{f\left(r\right)}\left(r\right)\right)\end{array}$
6. Montrer que l'application suivante est injective :
   $h:\mid \begin{array}{c}{\mathbb{N}}^2\to \mathbb{N}\\ \left(p,q\right)\mapsto 2^p(2q+1)\end{array}$
7. Conclure que $A$ est dénombrable.

Construction d'une base de $A\left[X\right]$

1. Montrer que $A\left[X\right]$ est dénombrable. Soit alors ${\left(P_i\right)}_{i\in \mathbb{N}}$ une énumération des éléments de $A\left[X\right]$.
2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $e_n=P_{n_0}$ avec $n_0$ le plus entier tel que $e_0...e_{n-1},P_{n_0}$ soit libre. Montrer que cette suite est bien définie.
3. Conclure que ${\left(e_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une base de $A\left[X\right]$.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : dimanche 13 avril 2008