Accès rapide
Pages spéciales
- Connexion
- Forum
- Auteurs
- Plan du site
Répertoires parents
Répertoire courant

Une base non triviale d'un espace vectoriel

Énoncé de l'exercice

On désigne par $A$ le corps des nombres algébriques, c'est-à-dire des nombres réels racines d'un polynôme à coefficients entiers. Dans cet exercice, on n'utilise pas l'axiome du choix et on peut admettre le résultat suivant : tout ensemble infini s'injectant dans $ℕ$ est dénombrable.

Montrer que l'ensemble des polynômes à coefficients algébriques $A [X]$ muni des opérations usuelles est un $ℚ$ -ev de dimension infini.
Construire une base de $A [X]$ .

Exercice guidé

Espace vectoriel de dimension infini

Vérifier que $(A [X] +)$ a une structure de groupe abélien.
Vérifier que tout rationnel $\frac{p}{q}$ est algébrique.
En déduire que pour tout $λ \in ℚ$ et $P \in A [X]$ , $λ . P \in A [X]$ puis que $(A [X] + .)$ est un espace vectoriel.
Montrer que la suite de polynômes ${(X^{n})}_{n \in ℕ}$ est une famille libre de vecteurs.
Vérifier que la famille précédente n'est pas une base (considérer par exemple le polynôme $\sqrt{2} X^{3}$ )

Ensemble des polynômes sur un ensemble dénombrable

Soit $D$ un ensemble dénombrable avec $0 \in D$ . On note $D [X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $D$ , i.e. des suites de $D$ avec un nombre fini d'éléments non nuls. Soient $f : D \to ℕ$ bijective avec $f (0) = 0$ et ${(p_{i})}_{i \in ℕ}$ la suite des nombres premiers.

Montrer que l'application suivante est bien définie :
$g : ∣ \begin{matrix} D [X] \to ℕ \\ \sum_{i = 0}^{+ \infty} a_{i} X^{i} \mapsto \prod_{i \in ℕ} {p_{i}}^{f (a_{i})} \end{matrix}$
Montrer que $g$ est injective.
En déduire que $D [X]$ est dénombrable.

Étude de l'ensemble des nombres algébriques

Montrer que $ℤ [X]$ est dénombrable. Soit alors ${(P_{i})}_{i \in ℕ}$ une énumération des éléments de $ℤ [X]$ .
Montrer que la fonction suivante est bien définie (avec pour convention $min \emptyset = \infty$ ) : $u_{i} (n) = min \{r \in ℝ \ u_{i} ([0; n - 1])| P_{i} (r) = 0\}$ .
Pour toute racine $r$ de $P_{i}$ , montrer qu'il existe un unique entier $v_{i} (r)$ tel que $u_{i} (v_{i} (r)) = r$ .
Vérifier que l'application suivante est bien définie :
$f : ∣ \begin{matrix} A \to ℕ \\ r \mapsto min \{i \in ℕ| P_{i} (r) = 0\} \end{matrix}$
En déduire que l'application suivante est bien définie et est injective :
$g : ∣ \begin{matrix} A \to ℕ^{2} \\ r \mapsto (f (r), v_{f (r)} (r)) \end{matrix}$
Montrer que l'application suivante est injective :
$h : ∣ \begin{matrix} ℕ^{2} \to ℕ \\ (p, q) \mapsto 2^{p} (2 q + 1) \end{matrix}$
Conclure que $A$ est dénombrable.

Construction d'une base de $A [X]$

Montrer que $A [X]$ est dénombrable. Soit alors ${(P_{i})}_{i \in ℕ}$ une énumération des éléments de $A [X]$ .
Pour tout $n \in ℕ$ , on pose $e_{n} = P_{n_{0}}$ avec $n_{0}$ le plus entier tel que $e_{0} . . . e_{n - 1}, P_{n_{0}}$ soit libre. Montrer que cette suite est bien définie.
Conclure que ${(e_{n})}_{n \in ℕ}$ est une base de $A [X]$ .

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : dimanche 13 avril 2008