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Préliminaires

Exercice 1

1. L'identité permet d'obtenir la réflexivité, la réciproque d'une bijection la symétrie, et la composition de bijections la transitivité.
2. Il suffit d'utiliser une composition judicieuse de l'application injective, et des bijections entre éléments d'une même classe d'équivalence.
3. Pour la réfléxivité, utiliser le fait qu'une bijection est une injection. Pour la transitivité, que la composée de deux injections est une injection.

Exercice 2

1. $X_0$ est par définition le complémentaire de $g\left(B\right)$ dans A donc on a $g\left(B\right)$ qui est le complémentaire de $X_0$ dans $A$. L'application g est surjective de $B$ sur son image $g\left(B\right)$ donc étant injective, c'est une bijection.
2. Si $x\in X$, alors $x$ est dans un $X_n$ donc $h\left(x\right)$ dans $X_{n+1}$donc dans $X$. Si $x\notin X$, alors $h\left(x\right)=x$ n'appartient pas à X. Donc deux éléments respectivement dans $X$ et $A\backslash X$ ne peuvent avoir la même images.
3. Par la question précédente, il suffit de montrer que les restrictions de $h$ à $X$ et $A\backslash X$ sont injectives. Or c'est clairement le cas, puisque ces restrictions sont respectivement $g\circ f$ et l'identité.
4. Soit $y\in A\backslash X_0$. Si $y$ n'est pas élément de $X$, alors y est un antécédent de lui-même par $h$. Sinon, $y$ est élément d'un $X_n$ pour un $n>0$, c'est-à-dire de $\left(g\circ f\right)\left(X_{n-1}\right)$, qui est inclus dans $h\left(A\right)$. Finalement $h$ est surjective donc bijective par la question précédente.
5. On a trouver d'une part une bijection entre $A$ sur $A\backslash X_0$ et d'autre part une bijection entre $B$ et $A\backslash X_0$, donc les ensembles A et B sont en bijection.
6. Il nous reste à montrer l'antisymétrie. Soient donc $X,Y\in \raisebox{1ex}{$\wp \left(X\right)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$R$}\right.$ tels que $X\le Y$ et $Y\le X$. Comme la définition de la relation ne dépend pas des représentants, on prend $A,B$ respectivement dans $X$ et $Y$ avec des injections comme dans l'énoncé de l'exercice 2. Par la question précédente, il existe une bijection de $A$ dans $B$ donc ils appartiennent à la même classe d'équivalence : $X=Y$.

Exercice 3

1. Il suffit de considérer $x\mapsto \left\{x\right\}$
2. Si un tel antécédent existait, on ne pourrait décider si il appartient ou non à son image $A_f$ qui est l'ensemble des éléments qui n'appartiennent pas à leur image.
3. La question 1 montre l'inégalité large. La question 2 montre qu'aucune application de $A$ dans $\wp \left(A\right)$ n'est surjective, donc a fortiori bijective, ce qui permet d'obtenir l'inégalité stricte.

Classification des cardinalités de $\wp \left(ℝ\cup \wp \left(ℝ\right)\right)$

Exercice 4

1. Tout élément de $\wp \left(X\right)$ contient $\varnothing$ et est contenu dans $X$, donc l'identité permet d'obtenir des injections qui prouve que $\mid \varnothing \mid$ et $\mid X\mid$ sont respectivement un plus grand et un plus petit élément de E.
2. Il suffit de considérer les classes des ensembles $\mid \{0;1;2;...;n\}\mid$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
3. Par le théorème de Cantor, et sous réserve de l'hypothèse, on a :

   $\mid \mathbb{N}\mid <\mid \wp \left(\mathbb{N}\right)\mid \le \mid ℝ\mid <\mid \wp \left(ℝ\right)\mid$

   ce qui fournit au moins 3 cardinalité infinies.

Exercice 5

1. Considérer par exemple l'application $\mathbb{Z}\to \mathbb{N}$ définies par $2n\mapsto n$ et $2n+1\mapsto -\left(n+1\right)$
2. Tout rationnel admet une unique écriture sous forme de fraction irréductible $\frac{p}{q}$ avec $\left(p,q\right)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$, ce qui fournit la première injection. En utilisant l'injection de la question précédente sur la première coordonnée, on obtient la deuxième injection demandée.
3. On utilise la valuation 2-adique et l'unicité de l'écriture $2q+1$ d'un nombre impair.
4. Découle des questions précédentes et de Cantor-Bernstein.

Exercice 6

1. Si $f:A\mapsto B$ est bijective $g:\mid \begin{array}{c}\wp \left(A\right)\to \wp \left(B\right)\\ X\mapsto f\left(X\right)\end{array}$ l'est aussi.
2. Considérer l'application qui a tout ensemble $X\subseteq A$ associe sa fonction caractéristique.
3. Il suffit de prouver que pour tout $r$, $supf\left(r\right)=r$.
4. La série est à terme positif et pour tout $n$, $\sum _{i=1}^n\frac{a_n}{3^n}\le \sum _{i=1}^n\frac{2}{3^n}\le \frac{2}{3}\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}\le 1$
5. Soit $m$ le plus petit indice où deux termes des suites ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et ${\left(b_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ diffèrent. On a

   $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a_n}{3^n}-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2b_n}{3^n}=\frac{2}{3^m}((a_m-b_m)+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_{n+m}-b_{n+m}}{3^n})$
   Or $\mid \sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_{n+m}-b_{n+m}}{3^n}\mid \le \sum _{n=1}^{\infty }\mid \frac{a_{n+m}-b_{n+m}}{3^n}\mid \le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}<1$
   tandis que $\mid a_m-b_m\mid =1$. Ainsi les deux sommes ont une différence non nulle, donc sont distinctes.

6. Les questions 1 et 3 fournissent une injection de $ℝ$ dans $\wp \left(\mathbb{N}\right)$. Les questions 2 et 5 une injection de $\wp \left(\mathbb{N}\right)$ dans $ℝ$. Cantor-Bernstein permet de conclure.

Exercice 7

1. Il suffit d'utiliser les résultats de la première et dernière question de l'exercice 6.
2. Ils sont en bijection car l'application "successeur" met en bijection $\mathbb{N}$ et ${\mathbb{N}}^{*}$.
3. $ℝ$ est un ensemble de nombres et $\wp \left(ℝ\right)$ un ensemble d'ensembles de nombres : ces deux ensembles contiennent des objets de natures différentes donc sont disjoints (en réalité ce raisonnement est faux pour certains ensembles, mais on peut toujours faire "comme si"). On procède de même pour $\wp \left(\mathbb{N}\right)$ et $\wp \left(\wp \left({\mathbb{N}}^{*}\right)\right)$.

   Soit $f:ℝ\to \wp \left(\mathbb{N}\right)$ et $g:\wp \left(ℝ\right)\to \wp \left(\wp \left({\mathbb{N}}^{*}\right)\right)$ des bijections. Alors

   $h:\mid \begin{array}{c}ℝ\cup \wp \left(ℝ\right)\to \wp \left(\mathbb{N}\right)\cup \wp \left(\wp \left({\mathbb{N}}^{*}\right)\right)\\ x\mapsto \{\begin{array}{c}f\left(x\right)\mathrm{si}x\in ℝ\\ g\left(x\right)\mathrm{si}x\in \wp \left(ℝ\right)\end{array}\end{array}$
   est une bijection.

4. On vérifie aisément que $f$ est effectivement à valeur dans $\wp \left(\wp \left(\mathbb{N}\right)\right)$. Plus précisément, les restrictions aux deux ensembles disjoints $\wp \left(\mathbb{N}\right)$ et $\wp \left(\wp \left({\mathbb{N}}^{*}\right)\right)$ ont leurs images respectivement incluses dans $\left\{x\in \wp \left(\wp \left(\mathbb{N}\right)\right)|\left\{0\right\}\in x\right\}$ et $\left\{x\in \wp \left(\wp \left(\mathbb{N}\right)\right)|\left\{0\right\}\notin x\right\}$. Ces deux ensembles étant disjoints, ont peut séparer l'étude de l'injectivité.

   Pour $f_{\mid \wp \left(\wp \left({\mathbb{N}}^{*}\right)\right)}$, l'injectivité est évidente. Pour $f_{\mid \wp \left(\mathbb{N}\right)}$, on remarque que l'image d'un élément est toujours une paire constituée du singleton $\left\{0\right\}$ et d'une partie de ${\mathbb{N}}^{*}$. Si deux éléments $X,Y$ ont la même images, on a alors $\left\{x+1|x\in X\right\}=\left\{x+1|x\in Y\right\}$ ce qui n'est possible que si $X=Y$.

5. $\wp \left(ℝ\right)$ est inclus dans $X$, donc $\mid \wp \left(ℝ\right)\mid \le \mid X\mid$. Les questions 1, 3, 4, donne quant à elle $\mid X\mid \le \mid \wp \left(\wp \left(\mathbb{N}\right)\right)\mid =\mid \wp \left(ℝ\right)\mid$.

Cardinalité de sous-ensembles de $ℝ$

Exercice 8

1. Il suffit de trouver une fonctions élémentaires judicieuses. Sinon, regarder cet exercice de terminale.
2. Les fonctions affines sont utiles pour mettre en bijection deux intervalles ouverts bornés...
3. Si $I$ est un intervalle de bornes $a$ et $b$ finis, on a $]a,b[\subseteq I\subseteq ℝ$. Si une des bornes est infinis, on peut toujours trouver un intervalle ouvert borné qu'il contient.

Exercice 9

1. Tout ouvert non-vide contient un intervalle ouvert voisinage d'un de ses points.
2. Considérer par exemple $\{0;1;2;...;n\}$, $\mathbb{N}$ et $[0,1]$.

Exercice 10

1. $\mathbb{N}\subseteq A$ car tout entier $n\in \mathbb{N}$ est racine de $X-n=0$.
2. Il existe un bon ordre sur $\mathbb{N}$ en utilisant une bijection entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Q}$, on peut transporter ce bon ordre.
3. On ordonne ces n-uplets selon l'ordre lexicographique : on regarde d'abord leur longueur, puis on compare un à un chaque coefficient à l'aide du bon ordre sur $\mathbb{Q}$. On vérifie facilement qu'on obtient encore un bon ordre.
4. Tout élément de $A$ est racine d'un polynôme non nul à coefficient rationnels de degré au moins 1. On peut alors définir $f\left(r\right)=min\left\{P\in \bigcup _{n\ge 1}{\mathbb{Q}}^{n+1}|P\left(r\right)=0\right\}$ car l'ensemble dont on prend le min est une partie non vide de $\bigcup _{n\ge 1}{\mathbb{Q}}^{n+1}$.
5. D'après le théorème fondamental de l'algèbre, chaque $P\in {\mathbb{Q}}^{n+1}$ possède au plus $n$ racines distinctes, que l'on peut numéroter. On pose alors pour tout $r$ et $P$, $h\left(r,P\right)$ le numéro de $r$ comme racine de $P$ (et n'importe quoi sinon), puis $g\left(r\right)=f\left(r\right)\times \{h\left(r,f\left(r\right)\right)\}$. On vérifie alors aisément que $g$ est à valeur dans $\bigcup _{n\ge 1}{\mathbb{Q}}^{n+1}\times [1;n]$ et est injective.
6. $\mathbb{Q}$ et $[1;n]$ s'injecte clairement dans $\mathbb{N}$. Donc ${\mathbb{Q}}^{n+1}\times [1;n]$ s'injecte dans ${\mathbb{N}}^{n+2}$. Comme ${\mathbb{N}}^2$ s'injecte dans $\mathbb{N}$ on montre par récurrence que ${\mathbb{N}}^{n+2}$ s'injecte dans $\mathbb{N}$. L'injection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}\times \left\{n\right\}$ est évidente.
7. Il suffit de noter que $\bigcup _{n\ge 1}\mathbb{N}\times \left\{n\right\}=\mathbb{N}\times {\mathbb{N}}^{*}$ qui s'injecte dans $\mathbb{N}$.
8. Notons $f_n$ les injections de la questions 6 et $h$ celle de la question 7. Pour tout $r\in A$, notons $n\left(r\right)$ l'unique entier n tel que $g\left(r\right)\in {\mathbb{Q}}^{n+1}\times [1;n]$. Soit alors :

   $i:\mid \begin{array}{c}A\to \mathbb{N}\\ r\mapsto h(f_{n\left(r\right)}(g\left(r\right)))\end{array}$

   $g$ est injective, les $f_n\left({\mathbb{Q}}^{n+1}\times [1;n]\right)$ sont deux à deux disjoints, chaque $f_n$ est injective et enfin $h$ est injective. Par conséquent $i$ est aussi injective. Finalement par Cantor-Bernstein, $A$ est dénombrable.

Exercice 11

1. Montrer tout d'abord que $g$ est surjective. Soit donc $y\in E\backslash G$. Si $y\notin F$, alors $g\left(y\right)=y$. Sinon, $f\left(y\right)\in G$. De plus $f\left(y\right)\notin F$ ou sinon on aurait $y\in G$. On a alors $g(f\left(y\right))=y$.
   Intéressons-nous maintenant à l'injectivité de $g$. L'identité et $f^{-1}$ étant injective, il reste à regarder si on peut avoir $x\in G$ et $y\notin G$ tel que $g\left(x\right)=g\left(y\right)$c'est-à-dire $y=f^{-1}\left(x\right)$. Or ceci est impossible car $f^{-1}\left(x\right)\in F$ alors que $y\in E\backslash F$.
2. Il suffit de considérer l'inclusion $]0,1[\subseteq ℝ\backslash \mathbb{N}\subseteq ℝ$.
3. L'ensemble des nombres transcendants est $ℝ\backslash A$. D'après l'exercice 10, $A$ est en bijection avec $\mathbb{N}$. Finalement en utilisant les questions précédentes, $ℝ\backslash A$ a la cardinalité du continu.

Cardinalité de sous-ensembles de $\wp \left(ℝ\right)$

Exercice 12

1. Considérer les intervalles (ouverts ou fermés) de bornes $x$ et $x+1$ pour tout $x\in ℝ$.
2. Utiliser le complémentaire...
3. Soit $o\in O$. L'inclusion de gauche à droit est immédiate par définition de $f$. Soit donc $x\in o$. $o$ étant ouvert, il contient un intervalle ouvert $]a,b[$auquel $x$ appartient. Par densité de $\mathbb{Q}$, on peut trouver $c,d\in \mathbb{Q}$ tels que $a\le c<x<d\le b$. Mais alors il existe $n$ tel que $\left({f\left(o\right)}_{n,1},{f\left(o\right)}_{n,2}\right)=]c,d[$, donc $x\in \bigcup _{n\in \mathbb{N}}]{f\left(o\right)}_{n,1},{f\left(o\right)}_{n,2}[$. CQFD.
4. Par la question précédente, deux ouverts ayant la même image par $f$ sont égaux.
5. Soit $i:F\to G$ injective.
   L'application $g:\mid \begin{array}{c}{F}^E\to G^E\\ x\mapsto i\circ x\end{array}$ est injective :
   Soient $x,y\in F^E$. Si $i\circ x=i\circ y$, alors $\forall t\in Ei(x\left(t\right))=i(y\left(t\right))$donc $x=y$ par injectivité de $i$.
6. Le fait que $F$ soit vide et l'existence de l'injection $i$ permet de déduire que $G\ne \varnothing$.
   Si $E$ est vide, a toujours $E^F=E^G=\varnothing$.
   Sinon, soit $e\in E$ et notons $i^{-1}$ la réciproque de $\check{i}:\mid \begin{array}{c}F\to i\left(F\right)\\ t\mapsto i\left(t\right)\end{array}$.
   L'application $h:\mid \begin{array}{c}{E}^F\to E^G\\ x\mapsto \left(t\mapsto \{\begin{array}{c}e\text{si}t\notin i\left(F\right)\\ x(i^{-1}\left(t\right))\text{sinon}\end{array}\right)\end{array}$ est bien définie et injective.
   Notons que la condition sur $F$ est nécessaire : si $E=F=\varnothing$ et $G$ n'est pas vide, on a $E^F=\left\{\varnothing \right\}$ qui ne s'injecte pas dans $E^G=\varnothing$.
7. Considérer $i:\mid \begin{array}{c}{\left(E^F\right)}^G\to E^{F\times G}\\ g\mapsto \left(\left(x,y\right)\mapsto ((g\left(y\right))\left(x\right))\right)\end{array}$.
8. L'application $f$ injecte $O$ dans ${\left({\mathbb{Q}}^2\right)}^{\mathbb{N}}$. Avec les notations de la question 5, comme $F={\mathbb{Q}}^2$ s'injecte dans $E=G=\mathbb{N}$, $O$ s'injecte dans ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$.
9. On a vu dans l'exercice 6 que ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$ et $\wp \left(\mathbb{N}\right)$ était en bijection. Or $\mathbb{N}$ s'injecte dans $\wp \left(\mathbb{N}\right)$, donc dans ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$. En appliquant les résultats du 5, on obtient que ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ s'injecte dans ${\left({\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\right)}^{\mathbb{N}}$ qui est en bijection avec ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}\times \mathbb{N}}$ d'après la question 7. Par la question 6, comme ${\mathbb{N}}^2$ s'injecte dans $\mathbb{N}$, on obtient finalement une injection de ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ dans ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$.
10. Les question 8 et 9 donnent que $O$ s'injecte dans ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$ (qui a la cardinalité du continu), par la question 1, obtient finalement que $O$ a la cardinalité du continu. Il en est de même de l'ensemble des fermés par la question 2. Enfin, un compact de $ℝ$ étant fermé, il y en a au plus autant que de fermé, ce qui majore sa cardinalité par le continu. A nouveau par la question, la cardinalité de l'ensemble des compacts de $ℝ$ est le continu.

Autres ensembles

Exercice 13

1. $\wp \left(\mathbb{N}\right)$ est en bijection avec $\wp \left(\mathbb{N}\right)\times \left\{\varnothing \right\}$ qui est inclus dans $\wp \left(\mathbb{N}\right)\times \wp \left(\mathbb{N}\right)$
2. Le premier est inclus dans le second.
3. Les questions précédentes montre que $\mid \wp \left(\mathbb{N}\right)\times \wp \left(\mathbb{N}\right)\mid =\mid \wp \left(\mathbb{N}\right)\mid$. En réinterprétant $\wp \left(\mathbb{N}\right)$ en $ℝ$, on obtient le résultat escompté.
4. $\mid ℂ\mid =\mid ℝ\times ℝ\mid =\mid ℝ\mid$

Exercice 14

1. ${\{0;1\}}^{{\{0;1\}}^{\mathbb{N}}}$est en bijection avec ${\{0;1\}}^{ℝ}$ qui est inclus dans ${ℝ}^{ℝ}$.
2. ${ℝ}^{ℝ}$ est en bijection avec ${\left({\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\right)}^{{\{0;1\}}^{\mathbb{N}}}$. Par la question 7 de l'exercice 12, cet ensemble est en bijection avec ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}\times {\{0;1\}}^{\mathbb{N}}}$.
3. La dénombrabilité de $A\cup B$ est facile (s'inspirer de la démonstration sur la dénombrabilité de $\mathbb{Z}$). Ensuite, il suffit de montrer que ${\{0;1\}}^A\times {\{0;1\}}^B$ est en bijection avec ${\{0;1\}}^{A\cup B}$.
4. ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\times {\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$ est en bijection avec ${\{0;1\}}^A\times {\{0;1\}}^B$où $A,B$ sont disjoints et dénombrables. Par la question 3, sa cardinalité est $\mid {\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\mid$
5. $\mathbb{N}\times {\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$ s'injecte dans ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\times {\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$ donc dans ${\{0;1\}}^{\mathbb{N}}$. Conclure à l'aide des résultats intermédiaires de l'exercice 12.
6. Les question 2 à 5 montre que ${ℝ}^{ℝ}$ s'injecte dans ${\{0;1\}}^{{\{0;1\}}^{\mathbb{N}}}$. Combinées avec la question 1, on obtient même une bijection. Par la question 2 de l'exercice 6, cet ensemble a pour cardinalité $\mid \wp \left(\wp \left(\mathbb{N}\right)\right)\mid$.

Exercice 15

1. Considérer les fonctions constantes. Comme l'ensembles des fonctions continues est inclus dans ${ℝ}^{ℝ}$, l'exercice 14 permet de déduire $\mid \wp \left(\wp \left(\mathbb{N}\right)\right)\mid$ comme majorant.
2. Supposons que deux fonctions $f,g$ continues aient la même restriction a $\mathbb{Q}$. Soit $x\in ℝ$ la limite d'une suite de rationnel ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, alors $f\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{lim}f\left(u_n\right)=\underset{n\to \infty }{lim}g\left(u_n\right)=g\left(x\right)$, donc $f=g$.
3. $\mid C\left(ℝ,ℝ\right)\mid \le \mid {ℝ}^{\mathbb{Q}}\mid =\mid {\left({\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\right)}^{\mathbb{N}}\mid =\mid {\{0;1\}}^{\mathbb{N}\times \mathbb{N}}\mid =\mid {\{0;1\}}^{\mathbb{N}}\mid =\mid ℝ\mid$. L'inégalité inverse découle de la la question 1.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : lundi 24 septembre 2007