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Introduction

Dans tout cet exercice, pour tout $\left(i,k\right)\in \mathbb{N}\times {\mathbb{N}}^{*}$ et $z\in ℂ$ (avec $\mid z\mid <1$) on pose :

$S_{i,k}\left(z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{n}^i{z}^{kn}$

On cherche à déterminer une méthode pour calculer les sommes de la forme $\sum _{n=0}^{+\infty }P\left(n\right)Q\left(z^n\right)$ où $P,Q$ sont deux polynômes et $Q$ est de valuation non nulle (i.e. $X\mid Q$).

Préliminaires

1. Pour $P,Q$ donnés montrer que $\sum _{n\ge 0}P\left(n\right)Q\left(z^n\right)$converge si $\mid z\mid <1$ et diverge si $\mid z\mid >1$.
2. Exprimer la somme de la série précédente en fonction des $S_{i,k}\left(z\right)$.
3. Montrer que la condition sur $Q$ est nécessaire.
4. Calculer $S_{0,k}\left(z\right)$pour tout $k\ge 1$.

Expression récurrente des $S_{i,k}\left(z\right)$

1. Montrer que pour tout $i\in \mathbb{N}$, il existe des coefficients entiers naturels ${\left(C_{i,j}\right)}_{0\le j\le i}$ tels que

   $$$\frac{d^i\left(z^{kn+i}\right)}{z^i}=\sum _{j=0}^i{C}_{i,i-j}{k}^j{n}^j{z}^{kn}$

2. Quelles sont les valeurs de $C_{i,0}$ et de $C_{i,i}$ ?
3. Justifier que l'on peut écrire $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{d^i\left(z^{kn+i}\right)}{{dz}^i}=\frac{d^i\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{z}^{kn+i}\right)}{{dz}^i}$.
4. En déduire une expression de $S_{i,k}\left(z\right)$ en fonction de $i,k$ et des$C_{i,j}$ et des $S_{i,j}\left(z\right)$ ($0\le j<i$) et de $\frac{d^i\left(\frac{z^i}{1-z^k}\right)}{{dz}^i}$.

Quelques questions supplémentaires

1. Justifier que $C_{i,j}=i{C}_{i-1,j-1}+C_{i-1,j}$.
2. En déduire que $C_{i,j}=j!+\sum _{l=j}^{i-1}\left(l+1\right)C_{l,j-1}$.
3. Calculer $S_{1,k}\left(z\right)$ et $S_{2,k}\left(z\right)$ pour tout $k\ge 1$.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : lundi 17 décembre 2007