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  • Dérivabilité et valeur absolue

Énoncé de l'exercice 1

1. Montrez que f est dérivable à gauche au point d'abscisse x = -3.
2. Montrez que f est dérivable à droite au point d'abscisse x = -3.
3. Les nombres dérivés à à droite et à gauche sont-ils les mêmes ? Comment cela se traduit-il sur un graphique ?

Corrigé de l'exercice 1

1. Après simplification, on voit que la fonction est dérivable à gauche, puisque $\underset{x\to {(-3)}^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f(-3)}{x-(-3)}=\frac{\left(1\right)}{\left(3087\right)}=f_g^{\text{'}}(-3)$
2. De la même façon, elle est dérivable à droite, parce que $\underset{x\to {(-3)}^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f(-3)}{x-(-3)}=\frac{(-1)}{\left(3087\right)}=f_d^{\text{'}}(-3)$
3. Les nombres dérivés de f en ce point sont différents, ce résultat se traduit par le fait qu'une courbe représentative de f présente deux demi-tangentes au point d'abscisse -3.

Énoncé de l'exercice 2

Voici un exercice pour les terminales S, où l'on construit une application f "bijective" entre l'ensemble des nombres réels et un de ses intervalles ouverts. Cette notion traitée dans les parties I/ et III/ est hors-programme mais elle est présentée ici de façon intuitive pour être compréhensible par les élèves de terminales. Par contre la partie II/ fait partie bien partie du programme de terminale.

I/ Questions préliminaires (hors programme)

1. Quel inclusion existe t'il entre ] 14 ; 28 [ et ℝ. Est-ce une inclusion stricte ?
2. Selon vous, lequel de ces deux ensembles a "le plus" d'éléments ?

II/ Étude de la fonction

1. Donnez une expression de f(x) pour x ∈ ] 14 ; 21 [ puis pour x ∈ ] 21 ; 28 [. Calculez la dérivée de f sur ces intervalles.
2. Étudiez la dérivabilité de f au point d'abscisse x = 21.
3. Calculez la limite de f quand x tends vers chacunes des bornes de l'intervalle de définition.
4. Construisez le tableau de variation de f.

III/ Étude de la bijection (hors programme)

1. Combien d'image par f possède un élément de ] 14 ; 28 [ ?
2. En vous aidant du tableau de variation de f, dite combien d'antécédent possède un élément de ℝ.
3. A l'aide des questions III/ 1) et III/ 2), expliquez pourquoi on peut dire que l'on a "associé un à un" les éléments de ] 14 ; 28 [ et ℝ. A partir de cela, répondez de nouveau à la question I/ 2).

Corrigé de l'exercice

I/ Questions préliminaires (hors programme)

1. On a ] 14 ; 28 [ ⊂ ℝ. C'est effectivement une inclusion stricte, puisque dans le cas contraire, les deux ensembles seraient égaux !
2. On pourrait penser que ℝ a "plus" d'éléments que ] 14 ; 28 [, puisque d'après la question précédente, il possède tous les éléments de ] 14 ; 28 [, et a de plus des éléments qui n'appartiennent pas à ] 14 ; 28 [.

II/ Étude de la fonction

1. x < 21 ⇒ -2x ≥ -42 ⇒ -2x + 42 ≥ 0 ⇒ $\frac{-2x+\left(42\right)}{(-14)}$ ≤ 0
   On a donc f(x) = -2 × $\frac{x-\left(21\right)}{1+\frac{-2x+\left(42\right)}{(-14)}}$ et f'(x) = $\frac{(-2)}{{(1+\frac{-2x+\left(42\right)}{(-14)})}^2}$
   De même, si x > 21, alors f(x) = -2 × $\frac{x-\left(21\right)}{1+\frac{-2x+\left(42\right)}{(-14)}}$ et f'(x) = $\frac{(-2)}{{(1+\frac{-2x+\left(42\right)}{(-14)})}^2}$
2. Les dérivés à gauche et à droite f pour en 21 coïncident et on trouve f'(21) = -2.
3. $\underset{x\to \left(14\right)}{lim}(-2)\times (x-\left(21\right))=\left(14\right)$ et $\underset{x\to {\left(14\right)}^{+}}{lim}1+\frac{-2x+\left(42\right)}{(-14)}=0^{+}$
   On trouve de la même façon $\underset{x\to \left(14\right)}{lim}f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to \left(28\right)}{lim}f\left(x\right)=-\infty$
4. Les question II/ 1) et II/ 2) ont montré que f est dérivable sur tout l'intervalle de définition, et que cette dérivée était strictement négative : f est donc strictement décroissante. Reste à placer les limites aux bornes de l'intervalle de définition...

III/ Étude de la bijection (hors programme)

1. Il possède évidemment une seule image : c'est f(x).
2. Le tableau nous montre que l'image de ] 14 ; 28 [ par f est ℝ : chaque nombre réel a donc au moins un antécédent. De plus, cet élément est unique puisque la fonction est strictement monotone.
3. Si on prends un élément de ] 14 ; 28 [, on peut lui associer un unique nombre réel qui est son image par f. Réciproquement, à tout nombre réel on peut associer un unique élément ] 14 ; 28 [, qui est son unique antécédent. Cette "bijection" montre que ℝ a "autant" d'élément que ] 14 ; 28 [. Comme tout ensemble infini, il peut être mis en bijection avec une des ses parties propres...

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : vendredi 29 octobre 2004