Remarque : Les exercices de cette page changent à chaque fois que vous l'actualisez.

Énoncé de l'exercice 1

On considère la fonction f définie par
f : ℝ* → ℝ
x ↦ 2 + | (-7) x + (21) | x 2
  1. Montrez que f est dérivable à gauche au point d'abscisse x = 3.
  2. Montrez que f est dérivable à droite au point d'abscisse x = 3.
  3. Les nombres dérivés à à droite et à gauche sont-ils les mêmes ? Comment cela se traduit-il sur un graphique ?

Corrigé de l'exercice 1

  1. Après simplification, on voit que la fonction est dérivable à gauche, puisque lim x → (3) - f ( x ) - f (3) x - (3) = (-1) (-3087) = f g ' (3)
  2. De la même façon, elle est dérivable à droite, parce que lim x → (3) + f ( x ) - f (3) x - (3) = (1) (-3087) = f d ' (3)
  3. Les nombres dérivés de f en ce point sont différents, ce résultat se traduit par le fait qu'une courbe représentative de f présente deux demi-tangentes au point d'abscisse 3.

Énoncé de l'exercice 2

Voici un exercice pour les terminales S, où l'on construit une application f "bijective" entre l'ensemble des nombres réels et un de ses intervalles ouverts. Cette notion traitée dans les parties I/ et III/ est hors-programme mais elle est présentée ici de façon intuitive pour être compréhensible par les élèves de terminales. Par contre la partie II/ fait partie bien partie du programme de terminale.

On considère la fonction f définie par f : ] -8 ; 10 [ → ℝ
x ↦ -4 × x - (1) 1 - | - 2 x + (2) (-18) |

I/ Questions préliminaires (hors programme)

  1. Quel inclusion existe t'il entre ] -8 ; 10 [ et ℝ. Est-ce une inclusion stricte ?
  2. Selon vous, lequel de ces deux ensembles a "le plus" d'éléments ?

II/ Étude de la fonction

  1. Donnez une expression de f(x) pour x ∈ ] -8 ; 1 [ puis pour x ∈ ] 1 ; 10 [. Calculez la dérivée de f sur ces intervalles.
  2. Étudiez la dérivabilité de f au point d'abscisse x = 1.
  3. Calculez la limite de f quand x tends vers chacunes des bornes de l'intervalle de définition.
  4. Construisez le tableau de variation de f.

III/ Étude de la bijection (hors programme)

  1. Combien d'image par f possède un élément de ] -8 ; 10 [ ?
  2. En vous aidant du tableau de variation de f, dite combien d'antécédent possède un élément de ℝ.
  3. A l'aide des questions III/ 1) et III/ 2), expliquez pourquoi on peut dire que l'on a "associé un à un" les éléments de ] -8 ; 10 [ et ℝ. A partir de cela, répondez de nouveau à la question I/ 2).

Corrigé de l'exercice

I/ Questions préliminaires (hors programme)

  1. On a ] -8 ; 10 [ ⊂ ℝ. C'est effectivement une inclusion stricte, puisque dans le cas contraire, les deux ensembles seraient égaux !
  2. On pourrait penser que ℝ a "plus" d'éléments que ] -8 ; 10 [, puisque d'après la question précédente, il possède tous les éléments de ] -8 ; 10 [, et a de plus des éléments qui n'appartiennent pas à ] -8 ; 10 [.

II/ Étude de la fonction

  1. x < 1 ⇒ -2x ≥ -2 ⇒ -2x + 2 ≥ 0 ⇒ - 2 x + (2) (-18) ≤ 0
    On a donc f(x) = -4 × x - (1) 1 + - 2 x + (2) (-18) et f'(x) = (-4) ( 1 + - 2 x + (2) (-18) ) 2
    De même, si x > 1, alors f(x) = -4 × x - (1) 1 + - 2 x + (2) (-18) et f'(x) = (-4) ( 1 + - 2 x + (2) (-18) ) 2
  2. Les dérivés à gauche et à droite f pour en 1 coïncident et on trouve f'(1) = -4.
  3. lim x → (-8) (-4) × ( x - (1) ) = (36) et lim x → (-8)+ 1 + - 2 x + (2) (-18) = 0 +
    On trouve de la même façon lim x → (-8) f ( x ) = + ∞ et lim x → (10) f ( x ) = - ∞
  4. Les question II/ 1) et II/ 2) ont montré que f est dérivable sur tout l'intervalle de définition, et que cette dérivée était strictement négative : f est donc strictement décroissante. Reste à placer les limites aux bornes de l'intervalle de définition...

III/ Étude de la bijection (hors programme)

  1. Il possède évidemment une seule image : c'est f(x).
  2. Le tableau nous montre que l'image de ] -8 ; 10 [ par f est ℝ : chaque nombre réel a donc au moins un antécédent. De plus, cet élément est unique puisque la fonction est strictement monotone.
  3. Si on prends un élément de ] -8 ; 10 [, on peut lui associer un unique nombre réel qui est son image par f. Réciproquement, à tout nombre réel on peut associer un unique élément ] -8 ; 10 [, qui est son unique antécédent. Cette "bijection" montre que ℝ a "autant" d'élément que ] -8 ; 10 [. Comme tout ensemble infini, il peut être mis en bijection avec une des ses parties propres...
Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : vendredi 29 octobre 2004
Valid XHTML 1.1 Valid MathML 2.0 Valid SVG Valid CSS Amaya, the W3C browser/editor Firefox