« Maths, Informatique, Jeux » - Existence d'une base dans un espace vectoriel bien ordonnable

- 13 avril 2008 - Un cas particulier de ce théorème pouvant se démontrer sans utiliser les ordinaux mais par une simple récurrence est le cas ou E est dénombrable. Un exemple d'une base non triviale dans un espace vectoriel dénombrable est donné dans les exercices de prépas.

Le but de cette démonstration est de prouver l'existence d'une base pour un espace vectoriel. La démonstration usuelle qui recourt au Lemme de Zorn, donc à l'axiome du choix est de trouver un système libre maximal, puis de prouver que ce système constitue une base. Nous allons procéder de la même façon, en construisant un système libre maximal mais cette construction est plus "intuitive".

Ainsi si on considère le cas d'un espace vectoriel E à dimension finie, c'est-à-dire engendré par un ensemble G fini, on peut construire une base B de la façon suivant : on prend un vecteur v quelconque de G et {v} est libre, puis on continue en choisissant un deuxième vecteur, un troisième... en s'arrangeant pour que chaque ajout de vecteur laisse le système libre. Comme G est fini, il y a forcément un moment où on ne peut plus ajouter de vecteurs, et en particulier on s'arrête si tout ajout fasse que le système soit lié : on a obtenu notre base B. En effet tout vecteur de G peut s'exprimer comme combinaison linéaire d'élements de B, et comme G engendre E, il en est de même pour B.

L'idée est donc de procéder de même pour un espace vectoriel E quelconque, sauf que l'on ne va pas choisir les éléments dans un système générateur de E, mais dans E lui-même. En effet si on montrais que l'on peut constuire une base à partir d'un système générateur de E, alors on pourrais prendre E lui-même comme système générateur. On va donc choisir à la suite des éléments de E pour former un système libre, or on voit d'une part que l'utisation des nombres ordinaux est pratique pour construire une telle suite, d'autre part que ces choix sont facilités si E est bien ordonnable. Cela nous conduit au théorème de ZF suivant, que nous allons démontrer plus bas :

Théorème

Démonstration

Soit (E, +) un espace vectoriel sur un corps (|K, [+], [×]), tel que E soit bien ordonnable, c'est-à-dire qu'il existe une relation d'ordre ≤ sur E tel que (E, ≤) soit bien ordonné. On défini par récursion ordinale la suite suivante :

Proposition 1.1

Démonstration

Cela résulte de la définition de la suite : si on ajoute aucun ou un élément pour obtenir B_{α + 1} on aura toujours B_α ⊂ B_{α + 1}. Et de même en prenant une union d'ensembles, on est assuré que tous ces ensembles sont inclut dans leur union.

Proposition 1.2

Démonstration

Soit

{(L_{i})}_{i < α}

une telle suite, et

L = ⋃_{i < α} L_{i}

. Soit aussi n un entier naturel et

{(v_{i})}_{i < n}

un nombre fini de vecteurs de L tel qu'il existe

{(k_{i})}_{i < n}

un nombre fini de scalaires de |K, avec

\sum_{i < n} k_{i} [\times] v_{i} = 0_{E}

. Chacun des v_i appartient à un système libre L_j et le plus grand de ces L_j contient tous les v_i. Or ce système étant libre, on a

\sum_{i < n} k_{i} [\times] v_{i} = 0_{E}

⇒ ∀ i <n, k_i = 0. Et finalement L est lui-même libre.

Proposition 1.3

Démonstration

Démontrons-le par induction sur α. Pour α = 0, B_α est vide donc aucun vecteur ne peut être combinaison linéraire des autres. Ensuite pour un ordinal α, on a soit B_{α + 1} = B_α qui est libre par hypothèse d'induction, soit B_{α + 1} = B_α ⋃ {min(X)} qui est libre d'après la définition de X. Enfin, pour λ ordinal limite, alors par hypothèse d'induction et d'après la proposition 1.1, B_λ est la réunion d'une suite croissante de systèmes libres, ce qui implique qu'elle soit libre d'après la proposition 1.2.

Proposition 2.1

Démonstration

Encore par induction sur α. Pour α = 0, B_α est vide, et la propriété est trivialement vraie. Maintenant pour un ordinal α, soit un vecteur x majoré par un élément de B_{α + 1}. S'il s'avère que ce majorant est en fait élément de B_α, alors par hypothèse d'induction, il s'exprime comme combinaison linéraire d'élément de B_α donc de B_α+1 comme B_α est inclus dans B_{α + 1}. Dans le cas contraire on ne peut avoir que x majorée par le vecteur v que l'on a ajouté. Si x = v, alors la propriété est évidente, sinon on voit que B_α ⋃ {x} est liée, ou sinon x ∈ X et x < v ce qui est impossible. Donc il existe {v₀, v₁, v₂... v_n } ⊂ B_α et

{(k_{i})}_{i < n + 1}

non tous nuls tel que

k_{n} [\times] x + \sum_{i < n} k_{i} [\times] v_{i} = 0_{E}

. Or k_n n'est pas nul, où sinon cela contredit le fait que B_α soit libre. On peut alors exprimer x comme combinasion linéaire d'éléments de B_α donc de B_{α + 1}. Enfin supposons λ ordinal limite, alors si x est majorée par un élément v de B_λ, alors il existe α < λ tel que v ∈ B_α. Par hypothèse d'induction, x est combinaison linéraire d'élément de B_α, donc de B_λ.

Proposition 3.1

Démonstration

{(B_{α})}_{α \notin Ord}

est stationnaire signifie que il existe un ordinal α, tel que pour tout β ≥ α, on a B_α = B_β. Donc le sens direct est trivial. Pour la réciproque, supposons par exemple α < β. Alors on a (B_α ⊂ B_{α + 1} ⊂ B_β. Comme B_α = B_β, on en déduit B_α = B_{α + 1}. Cela signifie qu'il n'y a pas d'élément v strictement supérieur à tout élément de B_α, tel que B_α ⋃ {v} soit libre. Ainsi tous les termes suivants de la suite seront égaux à B_α, et de même lorsque l'on prend la réunion.

Proposition 3.2

{(B_{α})}_{α \notin Ord}

est une suite stationnaire.
D'après la proposition 3.1, cela revient à dire qu'il existe deux termes de la suite égaux. Nous allons le montrer de deux façons différentes, en raisonnant à chaque fois par l'absurde.

Démonstration 1

Si tous les termes de la suite sont distincts, on dispose d'une fonctionnelle qui a tout termes de la suite B_α associe son unique rang α. Alors en utilisant le schéma d'axiomes de remplacement sur l'ensemble {X ∈ ℘(E) | ∃ α ∈ Ord, X = B_α } défini par séparation, on obtient un ensemble contenant tous les ordinaux ce qui contredit le paradoxe de Burali-Forti.

Démonstration 2

On construit par induction ordinale des applications f_α : f₀ = ∅, f_{α + 1} = f_α ⋃ {(α, min(X))} (ce qui est possible car X n'est jamais vide si on suppose que tout les termes sont distincts) et

f_{λ} = ⋃_{α < λ} f_{α}

. Comme tous les ordinaux et termes sont distincts, on voit que ces applications sont des bijections de α dans B_α. E étant bien ordonnable, il est isomorphe à un ordinal γ. Prenons alors δ le plus petit ordinal ne s'injectant pas dans γ. Alors f_δ est une bijection de δ dans B_δ. Mais B_δ est inclus dans E, donc s'injecte dedans par l'application identique, et de même E s'injecte dans γ, par un isomorphisme de relation d'ordre. En composant les injections, on obtient une injection de δ dans γ, ce qui est contradictoire.

Remarque : Cette deuxième démonstration exprime l'idée que le cardinal de E pose une limite à la croissance de la suite. Toujours informellement, notre choix de vecteurs pour former des système libres croissant doit s'arrêter, car la taille des systèmes est limitée par celle de E : on a alors un système libre maximal.

Démonstration du théorème

La suite étant stationnaire, on peut trouver un ordinal α, avec pour tout β ≥ α, B_α = B_β. Montrons que le système B_α constitue une base pour E. Tout d'abord, comme la proposition 1.3 nous permet d'affirmer qu'il est libre, il ne reste plus qu'à montrer qu'il est aussi générateur. On sait déjà par la proposition 2.1 que tout vecteur majoré par un élément de B_α peut être exprimé par une combinaison linéraire d'éléments de ce système. Prenons alors v strictement supérieur à tout élément de B_α. Mais alors B_α ⋃ {v} ne peut être libre où sinon X n'est pas vide et alors on a B_{α + 1} = B_α ⋃ {min(X)}, ce qui contredit le fait que la suite est stationnaire à partir du rang α. Donc B_α ⋃ {v} est lié, et comme B_α est libre, on montre par un procédé analogue à celui utilisé dans la démonstration de la proposition 2.1, que v est combinaison linéraire d'élément de B_α. Finalement B_α est libre et générateur : il s'agit d'une base de E. CQFD.

Introduction

Théorème

Démonstration

Proposition 1.1

Démonstration

Proposition 1.2

Démonstration

Proposition 1.3

Démonstration

Proposition 2.1

Démonstration

Proposition 3.1

Démonstration

Proposition 3.2

Démonstration 1

Démonstration 2

Démonstration du théorème

Corollaire (AC)

Démonstration