Démonstrations réalisées par Frédéric WANG

1) Récapitulatif

Il nous reste à montrer que tout P possède un plus petit élément, et donc que (℘(E), <℘(E)) est bien ordonné.

2) Construction de K et W

Comme ∪P ⊂ E, on peut poser w0 = min(∪P). On va ensuite construire simultanément un ensemble W inclus dans ∪P, qui sera défini par l'axiome de séparation, et une application K : W → ℘(P).

1) On pose :
2) Puis pour tout x ∈ ∪P \ {w0}, on note : K-(x) = {p∈P | ∀ y ∈W ∧ y<Ex, p∈K(y) }.
Si ∃p∈K-(x) tel que x∈p alors on pose : L'ensemble W ainsi construit est-il le plus petit élément de ℘(E) ?

3) Organisation de K(W)

Proposition 3.1

∀w∈W, K(w)≠ ∅
Démonstration : Tout d'abord, K(w0) ≠ ∅, car sinon w0 n'appartiendrait à aucun élément de P, donc ne serait pas non plus élément de ∪P, ce qui n'est pas le cas. Ensuite, les autres K(w) sont définis de manière à ne pas être vides.

Proposition 3.2

∀(w,w')∈W2, w ≤E w' → K(w') ⊂ K(w)
Démonstration : Cela immédiat si w = w', supposons donc que w est strictement inférieur à w'. ∀ p, p∈K(w') → p ∈K-(w') → [∀ y ∈ W ∧ y <E w, p ∈ K(y)] → p∈ K(w). Ce qui confirme l'inclusion.

Proposition 3.3

∀ w∈W, K(w) ⊂ K(w0)
Démonstration : Comme w0 = min(∪P) et que W ⊂ ∪P alors w0 = min(W), et en appliquant la proposition 1.2, on a ∀ w∈W, K(w) ⊂ K(w0).

Proposition 3.4

∀ w∈W ∀ p∈K(w) ∀ x∈ ∪P [ (x≤Ew) → (x ∈ W ⇔ x ∈ p)]
Démonstration :
On a ainsi prouvée l'équivalence.

4) Étude de la relation d'ordre sur P

Proposition 4.1

∀ p∈P, ∀ x∈ ∪P, (∀ y∈W ∧ y<Ex, y∈p) → p∈K-(x) → x∈W
Démonstration : Supposons que p∉K-(x). Soit T = {y∈W | y<Ex ∧ p ∉K(y)}. Si T = ∅, alors ∀ y∈W ∧ y<Ex, p∈K(y) → p∈K-(x), ce qui contredit notre hypothèse. Sinon, en posant t = min(T), on obtient p∉K(t) → t∉p ⊦ p∉K-(t) → p∉K-(t) → ∃ x'∈W ∧ x'<Et, p∉K(x') → ∃ x'∈T ∧ x'<Et, ce qui est impossible d'après la définition de t. Le raisonnement par l'absurde nous permet de conclure que p appartient à K-(x). Il en découle que x appartient à W.

Proposition 4.2

∀(w1, w2) ∈ W2, w1E w2 → [∀a∈K(w1) et ∀b∈ K(w1) \ K(w2), a ≤℘(E) b]
Démonstration : Si K(w1) = K(w2) alors K(w1) \ K(w2) = ∅ et la proposition est vérifiée, supposons donc que K(w2) soit strictement inclus dans K(w1). En particulier, il faut que w1<Ew2.

On pose ensuite W' = {x∈W | x≤Ew2 ∧ x∉b}. W' est non vide car sinon en se servant de la proposition 4.1, on a [(∀x∈W ∧ x<Ew2, x∈b) ∧ w2∈b] → [b∈K-(w2) ∧ w2∈b] → b∈K(w2), ce qui est faux. On peut donc poser w' = min(W'). On remarque que w' appartient à l'ensemble a d'après la proposition 3.4, et comme il n'appartient pas à l'ensemble b, on a w' ∈ (a ∪ b)\(a ∩ b). Maintenant, montrons que c'est aussi son plus petit élément.

Tout d'abord, si on a un élément x strictement inférieur à w' et appartenant à l'ensemble a, alors il appartient aussi à W (proposition 3.4) et enfin à l'ensemble b (sinon x appartiendrait à W', tout en étant strictement plus petit que w', ce qui est impossible).

Ensuite, si x appartient à b et est strictement inférieur à w', alors ∀y∈W ∧ y<Ew, y∈b donc d'après la proposition 4.1, x est élément de W et donc aussi de l'ensemble a.

Autrement dit, ∀x∈ (a ∪ b), x<Ew' → x∉(a ∪ b)\(a ∩ b), donc w' = min((a ∪ b)\(a ∩ b)), et comme w'∈a, a≤℘(E)b.

Proposition 4.3

∀ w∈W, ∀ p1∈K(w) ∀ p2∈ P \ K(w), p1℘(E) p2.
Démonstration : Pour w0, on obtient w0∈p1 et w0 ∉p2. Il est alors clair que p1℘(E) p2.

Maintenant pour w∈W \ {w0}, on distingue alors deux cas :

Finalement, la proposition est démontrée.

Proposition 4.4

∀ p∈P, W≤℘(E)p.
Démonstration : Soit w un élément de W. Si W est inférieur à tous les éléments de K(w), la proposition 4.3 implique qu'il est aussi inférieur à tous les éléments de P. Soit donc un élément p de K(w). Si p = W, la réflexivité fait que W≤℘(E)p, supposons donc que p est différent de W. On peut alors poser m = min((W ∪ p)\(W ∩ p)). Si m∈p, alors ∀ x∈W ∧ x<Em, x∈p (sinon x∈(W ∪ p)\(W ∩ p) et x<Em ce qui est impossible d'après la définition de m). En appliquant la proposition 4.1, on voit alors que m est élément de W, et on a une contradiction. Par conséquent, m ne peut être élément de p et doit donc appartenir à W, c'est-à-dire W ≤℘(E)p).

Proposition 4.5 (pas bien démontrée... :-(

∃ p∈P tel que p≤℘(E)W
Démonstration : ∀ w∈W, soit p un élément de K(w) (donc un élément de P), on a w∈p. De plus, ∀ w'∈W, w'<Ew, K(w)⊂K(w') donc p est élément de K(w') et w'∈p. Finalement, pour tout élément w de W, on peut donc trouver un élément de P qui contiennent tous les éléments de W plus petits ou égaux à w. Mais comme w peut-être aussi grand que l'on veut, W est forcément inclus dans un élément de p.

Proposition 4.6

W appartient à P et est son plus petit élément (pour la relation d'ordre <℘(E)).
Démonstration : D'après la proposition 4.5, il existe un élément p qui soit inférieur à W. Mais W, est inférieur à tous les éléments de P d'après la proposition 4.4, donc on a p = W et W ∈ P. Comme de plus W est inférieur à tous les éléments de P, W = min(P), et la proposition est démontrée.

Conclusion

La dernière proposition conclut la démonstration du bon ordre sur (℘(E), <℘(E)). Malheuresement, comme répété depuis le début, la proposition 4.5 est mal démontrée. W est donc bien un minorant de P, mais on ne sait pas si il appartient à P...

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : mardi 31 août 2004
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