Proposition

Soit I un ensemble bien ordonné par la relation <_I, et dont chaque élément i est bien ordonné par une relation <_I. D'après l'axiome de compréhension, pour tout élément x de ∪I, il existe un ensemble I_x = {i∈I | x∈i}. I_x est alors une partie non vide de I (ou sinon x ∉ ∪I) et possède un plus petit élément que l'on notera i_x. ∪I est bien ordonné par la relation <_∪I définie ainsi :
∀(x,y)∈∪I², x <_∪I y ⇔ [ [ i_x ≤_I i_y ] ∧ [ (i_x=i_y) → (x $\leq_{i_{x}}$ y) ] ]

Démonstration

Antisymétrie de ≤_∪I

Soient x et y des éléments de ∪I tel que x≤_∪Iy et y≤_∪Ix. Alors on a i_x≤_Ii_y et i_y≤_Ii_x d'où i_x=i_y, ce qui implique x $\leq_{i_{x}}$ y et y $\leq_{i_{x}}$ x et finalement x=y.

Transitivité de ≤_∪I

Soient x, y et z des éléments de ∪I tel que x≤_∪Iy et y≤_∪Iz. On en déduit i_x≤_Ii_y et i_y≤_Ii_z donc i_x≤_Ii_z. De plus, si i_x=i_z alors i_y≤_Ii_x et comme i_x≤_Ii_y on a i_x=i_y=i_z. Par conséquent, x $\leq_{i_{x}}$ y et y $\leq_{i_{x}}$ z implique x $\leq_{i_{x}}$ z. Finalement x≤_∪Iz.

Bon ordre sur ∪I

Soit P une partie non vide de ∪I. D'après l'axiome de compréhension peut poser J = {i∈I | i∩P ≠ ∅). J est alors une partie non vide (puisque P⊂∪I → ∃i∈I | i∩P ≠ ∅) de l'ensemble bien ordonné I et on peut alors poser alors j=min(J). j est élément de I donc est bien ordonné et son intersection avec P (non vide d'après la définition de J) possède donc un plus petit élément q = min(j∩P).

On rappelle que d'après l'axiome de compréhension il existe un ensemble I_q = {i∈I | q∈i}, et on remarque que ∀ i∈I_q, i∩P ≠ ∅ car q∈(i∩P), et donc que I_q⊂J. De plus, q∈(j∩P) donc q∈j et j∈I_q. Or j=min(J) donc j=min(I_q)=i_q.

Pour tout élément p de P \ {q}, on a donc :
- i_p∩P ≠ ∅, car p∈(i_p∩P) et i_p∈I donc i_p∈J. Comme i_q = min(J), i_q≤_Ii_p.
- Si on a i_q = i_p, alors p∈i_p → p∈i_q → p∈j. Mais p∈P, donc p∈(j∩P). Enfin, comme q=min(j∩P), q <_I p.

Finalement ∀ p∈ P \ {q}, q <(∪I) p, q est donc le plus petit élément de P.

Cas particuliers

Réunion fini d'ensembles bien ordonnables

Si I est fini, alors il est bien ordonnable (on le montrera plus loin) et donc « toute réunion fini d'ensembles bien ordonnables est bien ordonnable ».

Réunion d'ensembles disjoints

Si tous les ensembles de I sont disjoints entre eux (c'est-à-dire ∀(i₁,i₂)∈I², i₁∩i₂ = ∅), alors pour tout x de ∪I, i_x est l'unique élément de I dont x soit un élément.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : dimanche 8 février 2004