Proposition

« Soit Δ la droite d'équation y = b et d et d' deux droites d'équations respectives y = nx et y = mx.
La droite Δ coupe d et d' en N et M tels que MN = |b(m-1 - n-1)| »

Démonstration

Calcul des coordonnées des points d'intersections

Soit Δ la droite d'équation y = ax + b et soit d la droite d'équation y = nx. Calculons les coordonnées de N, point d'intersection des droites Δ et d : nx = ax + b
nx - ax = b
x(n - a) = b
x=bn−a et y=nbn−a
De la même manière, si d' a pour équation y = mx, Δ coupe d' en M(bm−a,mbm−a).

Calcul de MN

MN2=(bm−a−bn−a)2+(mbm−a−nbn−a)2
Si on pose p = (n - a)(m - a), on obtient :
MN2=((n−a)b−(m−a)bp)2+((n−a)mb−(m−a)nbp)2
MN2=((n−a−m+a)bp)2+((mn−am−mn+an)bp)2
MN2=b2((n−m)2+(an−am)2)p2
MN=|bp|(a2+1)(n−m)2
En remplaçant p par (n - a)(m - a), on obtient :
MN=|b(n−m)(n−a)(m−a)|a2+1
Finalement, si Δ a pour équation y = b, c'est à dire si a = 0 on a :
MN=|b(n−m)nm|=|b(m−1−n−1)|. Cqfd.
Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : mardi 24 juin 2003
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