Soient a, b, n ∈ ℕ^*. Les n derniers chiffres des multiples de aⁿ dans la base ab forment un nombre de la forme aⁿ × r, où r ∈ ℕ et r < bⁿ

Tous les multiples de aⁿ sont de la forme P_k = aⁿ × k (k ∈ ℕ),
donc on peut trouver q, r ∈ ℕ, tel que k = bⁿ × q + r (r < bⁿ), et
P_k = aⁿ × (bⁿ × q + r)
P_k = q × (ab)ⁿ + aⁿ × r
Quelque soit q, on voit que les n derniers chiffres de P_k en base ab ne dépendent pas de q × abⁿ. De plus, on a :
r < bⁿ
r < (ab)ⁿ / aⁿ
aⁿ × r <(ab)ⁿ
On peut donc affirmer que aⁿ × r écrit dans la base ab correspond au n derniers chiffres de P_k dans la base ab.

On prends les a = 2, b = 5 et n = 3. On travaille donc en base ab=10. 159875246808 est divisible par aⁿ = 8 puisque ses n = 3 derniers chiffres forment le nombre 808 qui peut s'écrire aⁿ × r (avec r = 101).

On devine de la même manière que 351298375 est divisible par 125.