Démonstration

Proposition 1

Pour tout nombre k ∈ ℕ, on peut trouver q ∈ ℕ tel que : (B^2k=(B + 1)q + 1) ⇔ (B^2k ≡ 1 (B + 1))

Montrons que les puissances paires de B sont congrues à 1 modulo B + 1
(B^2k de la forme (B + 1)q + 1).

Vérification au rang k=0
On a bien : B⁰ = (1 + B)×0 + 1 = 1
Hypothèse de récurrence :
B^2k = (B + 1)q + 1.
Supposons l'égalité vraie à un certain rang k, est-elle vraie au rang k + 1 ?
B^{2(k + 1)} = B^2k×B²
B^{2(k + 1)} = [(B + 1)q + 1]×B² d'après l'hypothèse de récurrence.
B^{2(k + 1)} = (B + 1)(qB²)+B²
B^{2(k + 1)} = (B + 1)(qB²) + (B + 1-1)²
B^{2(k + 1)} = (B + 1)(qB²) + (B + 1)²-2(B + 1)+1
B^{2(k + 1)} = (B + 1)(qB² + B + 1-2)+1
B^{2(k + 1)} = (B + 1)q'+1 avec q' = qB²+B-1

L'égalité est vérifiée au rang k + 1, comme est elle est vraie au rang k=0 elle l'est pour tout k ∈ ℕ.

Proposition 2

Pour tout nombre k ∈ ℕ, on peut trouver q ∈ ℕ tel que : (B^{2k + 1}=(B + 1)q-1) ⇔ (B^{2k + 1}≡ -1 (B + 1))

Montrons que les puissances impaires de B sont congrues à -1 modulo B + 1
(B^{2k + 1} de la forme (B + 1)×q-1).

B^{2k + 1}=B^2k×B
B^{2k + 1}=[(B + 1)q + 1]×B d'après la démonstration 1/
B^{2k + 1}=(B + 1)(Bq + 1)-1
B^{2k + 1}=(B + 1)q'-1 avec q'=Bq + 1
Cqfd.

Proposition 3

« Dans une base B, un entier N est divisible par B + 1 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par B + 1. »

Soit N ∈ ℕ un nombre dont les chiffres en base B sont r_p, r_p-1, r_p-2... r₁, r₀.
(N est divisible par B + 1) ⇔ (N≡0 (B + 1))
(N est divisible par B + 1) ⇔

\sum_{i = 0}^{p}

r_i×Bⁱ≡0 (B + 1)
(N est divisible par B + 1) ⇔

\sum_{i pair}

r_i×Bⁱ +

\sum_{i impair}

r_i×Bⁱ≡0 (B + 1))
(N est divisible par B + 1) ⇔

\sum_{i pair}

r_i×1 +

\sum_{i impair}

r_i×(-1)≡0 (B + 1)) Car B^{i pair} ≡ 1 (B + 1)
(N est divisible par B + 1) ⇔ (r₀-r₁+r₂-r₃+r₄-r₅+...(-1)^p r_p≡0 (B + 1)) et B^{i impair} ≡ -1 (B + 1)
(N est divisible par B + 1) ⇔ (La somme alternée des chiffres de N est divisible par B + 1)

Exemples et remarques

Exemples

{\bar{174529}}_{6}

en base B = 6 est divisible par B + 1 = 7. Car 9 - 2 + 5 - 4 + 7 - 1 = 14 qui est divisible par 7.

{\bar{1292511}}_{10}

en base B = 10 est divisible par B + 1 = 11. Car 1 - 1 + 5 - 2 + 9 - 2 + 1 = 11 qui est divisible par 11.

Remarques

B = {\bar{10}}_{B}

B + 1 = {\bar{11}}_{B}

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : François WANG - Dernière mise à jour : 2003