Démonstrations réalisées en prépa

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Une transcription de la définition classique en terme d'ordinaux.

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Structures algèbriques transfinies

Lorsque j'étais en 3e, je me suis demandé si il pouvait existé des cardinaux négatifs infinis et avais essayé de formaliser cela sans grand succès. Récemment, j'ai repris ce problème d'un autre point de vu, à savoir la recherche de structures algébriques transfinies. En effet, les nombres ordinaux et cardinaux sont une extension remarquable des entiers naturels et il serait intéressant de la généraliser en mimant les constructions de à partir de . L'idée est de considérer la classe des couples d'ordinaux/cardinaux, de définir une somme et de ne conserver qu'une famille de représentants formant ainsi une classe d'ordinaux/cardinaux relatifs qui serait muni d'une structure de groupe et dont serait, à un isomorphisme près, un sous-groupe. On procderait de même pour ce qui permettrait d'obtenir une structure de corps ou l'on pourrait définir des sommes et produits infinis et laisse imaginer la possibilité de matrices infinis, et ainsi de suite...

En fait, ceci s'est révelé irréalisable. Tout d'abord, la commutativité de l'addition est nécessaire pour mimer la construction de , ce qui interdit de l'appliquer aux ordinaux. Pour les cardinaux, si on suppose qu'il existe un groupe additif contenant un cardinal infini λ et prolongeant l'addition cardinale, on aurait :

λ = λ + 0 = λ + ( λ + ( λ ) ) = ( λ + λ ) + ( λ ) = λ + ( λ ) = 0 ,

Cela est fort regrettable car cela aurait pu être un moyen d'étude privilégié pour les structures algébriques infinis.

Non prouvabilité dans ZF de l'existence d'un bon ordre

Cette démonstration fait suite à un mail que l'on m'a envoyé à propos d'une de mes tentatives passées pour exhiber un bon ordre sur l'ensemble des nombres réels sans recours à l'axiome du choix. Pour clarifier les choses, la démonstration concernée est incomplète et ne pourra pas être achevée. Le point manquant est de trouver un bon ordre explicite sur l'ensemble des parties d'un ensemble bien ordonnable donné. Or, si une telle construction était possible on pourrait obtenir le théorème de Zermelo qui n'est pas prouvable (et même indécidable) dans ZF. Un corollaire est que ZF ne prouve pas non plus l'existence d'un bon ordre sur l'ensemble des applications d'un ensemble bien ordonnable dans un autre ou sur un produit d'ensemble bien ordonnables indéxé par un ensemble bien ordonnable.

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Démonstrations et algorithmes : infiniment longs ou impossibles ?

Ceci est le TIPE de l'année 2005-2006 (sujet : le temps) que j'ai réalisé en MPSI avec deux camarades. Il contient des démonstrations que j'ai réalisé sur les suites de Goodstein (Propositions 2.1.1.3, 2.1.2.1, 2.1.2.5, 2.1.2.7) ainsi que sur l'existence d'un algorithme de recherche de racine entière pour les polynôme à une variable à coefficients entiers (Proposition 3.1.1).

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Démonstrations réalisées au lycée

Introduction

Vous l'aurez compris, la page "nos démos" comporte des démonstrations mathématiques que nous avons réalisés. Contrairement aux autres démonstrations de notre site, comme celle que vous pouvez trouver dans la partie "divers", elles sont normalement inédites, même s'il faut admettre que l'on ne peut savoir si elles ont déjà été démontrées par d'autres personnes. Ainsi, j'avais démontrée par récurrence en quatrième la formule sur la série de puissance, et je l'ai retrouvée avec étonnement en première pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique !

Les démonstrations sont généralement assez courtes, et peuvent être comprises par des élèves du niveau collège ou lycée, même si il peut y avoir des exceptions. Alors si vous êtes curieux, et voulez découvrir nos démonstrations, faites votre choix !

Existence d'une base dans un espace vectoriel bien ordonnable

Cette démonstration réalisée avant mon entrée en prépa illustre bien le schéma de démonstration par induction ordinale. Le but est de prouver l'existence d'une base pour un espace vectoriel bien ordonnable. La démonstration usuelle dans le cas général utilise le Lemme de Zorn, équivalent à l'axiome du choix. Ces énoncés étant équivalent au théorème de Zermelo, un corollaire de ma démonstration dans le cas particulier des espaces vectoriels bien ordonnables est l'obtention d'une base pour le cas général.

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Ensembles bien ordonnables

Cette démonstration est incomplète, il s'agit de recherche que j'ai faite pour engendrer des ensembles bien ordonnables à partir d'ensembles bien ordonnables sans utiliser l'axiome du choix, l'objectif de départ étant de trouver une relation de bon ordre sur ℝ.

J'ai montré que tout ensemble construit à partir d'ensembles bien ordonnables à l'aide du schéma d'axiomes de compréhension ou de remplacement, de l'axiome de la paire ou de l'axiome de l'union est bien ordonnable. Reste le cas de l'axiome des parties qui posent plus de problèmes.

Vous trouverez dans les pages, une relation ordre totale sur ℘(E) quand E est bien ordonné, mais je ne suis pas satisfait de la proposition 4.5 qui permettrait le bon ordre. Une autre idée était de se servir de la définition d'un élément de ℘(E) grâce au schéma d'axiomes de compréhension, mais tous les ensembles de E ne soit pas définissable par ce schéma (voir plus bas) si la propriété suivante est vraie : "une réunion dénombrable d'ensembles dénombrable est dénombrable", que l'on démontre avec l'axiome du choix. Le fait qu'il existe des sous-ensembles indéfinissables par l'axiome de compréhension pose problème pour construire la relation de bon ordre...

Remarque : la démonstration ne peut être achevée car j'ai montré plus tard que "Pour tout E, ( E ) est bien ordonnable si E est ordonnable" est décidable dans ZF. En fait, " est bien ordonnable" est aussi indécidable dans ZF.

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Parties indéfinissables par le schéma d'axiome de séparation

« Un ensemble E est infini si et seulement si il possède une partie indéfinissable par le schéma d'axiomes de séparation ». Cette démonstration fait suite à la tentative de bien ordonner l'ensembles des parties d'un ensemble bien ordonnable, en se servant de l'axiome de séparation (voir plus haut).

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Terme général d'une suite un+1 = aun + b

Lorsque j'étais en première S, j'ai rencontré un exercice où l'on nous demandais de trouver le terme général d'une suite de ce type, en passant par une suite géométrique v. Je n'ai alors pas pu m'empêcher de généraliser ce résultat, en démontrant que l'on a (pour a différent de 0 et 1) :

u n = ( ( a 1 ) × u 0 + b ) × a n b a 1
Notons qu'il existe une démonstration plus simple qui utilise un point fixe, mais biensûr je ne la connaissais pas encore...
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Critère de divisibilité 2

Cette démonstration a été réalisé par mon frère François en terminale. Elle dit que « Dans une base B, un entier N est divisible par B+1 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par B+1 ».

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Démonstrations réalisées au collège

Critère de divisibilité d'un nombre par une puissance d'un diviseur de la base

J'ai réalisé cette démonstration en 4ème-3ème, je l'ai laissé tel quel, mais peut-être que je mettrais la page à jour bientôt. Soit un nombre a écrit dans une base B donnée, et k un diviseur B. Si les n derniers chiffres de a sont divisibles par kn alors a l'est aussi. La mise à jour consitera à remplacer cette implication par « a est congru r modulo kn »

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Coefficients directeurs

« Soit Δ la droite d'équation y = b et d et d' deux droites d'équations respectives y = nx et y = mx.
La droite Δ coupe d et d' en N et M tels que MN = |b(m-1 - n-1)| »

Une démonstration effectuée en 3ème.

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Série de puissances

Ceci est une formule pour calculer une somme de la forme a0 + a1 + a2... + an. Lorsque je l'ai démontrée en quatrième, j'ai utilisé la récurrence, mais en première, on trouve une autre démonstration de cette formule. Elle sert notamment à calculer la somme des termes d'une suite géométrique.

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Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : jeudi 16 août 2007
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