Cet article nécessite quelques pré-requis. Pour les notions fondamentales sur la logique et la théorie des ensembles, je vous recommande le cours de Patrick Dehornoy [1]. Quant aux notations utilisées, vous pouvez en plus vous reporter aux préliminaires de [2]. Dans toute la suite, on supposera la consistance de ZF.
Le but est de montrer la non prouvabilité dans ZF des trois énoncés suivants :
En particulier, ma tentative de démonstration précédente sur l'existence d'un bon ordre sur sans utiliser l'axiome du choix [3], dont la proposition 4.5 aurait impliqué le premier point, ne peut être achevée de la sorte.
Notons que l'on a un résultat plus fort, à savoir que ces énoncés sont non seulement indémontrables mais aussi indécidables dans ZF. En effet, on sait que la consistance de ZF entraîne celle ZFC et aussi que ZFC prouve ces trois énoncés via le théorème de Zermelo. Par conséquent si leurs négations étaient prouvables dans ZF elles le seraient a fortiori dans ZFC et cela contredirait sa consistance.
ZF ne prouve pas "Pour tout ensemble bien ordonnable, est bien ordonnable."
Si pour tout ensemble bien ordonnable, est bien ordonnable alors pour tout ordinal , est bien ordonnable.
Par induction ordinale :
Supposons l'énoncé prouvable, alors par le théorème de complétude, il est vrai dans tout modèle de ZF. Un élément d'un tel modèle est inclus dans donc la restriction à d'un bon ordre sur est un bon ordre sur . Par conséquent, le théorème de Zermelo et a fortiori l'axiome du choix est vrai dans . A nouveau par le théorème de complétude, on aurait , alors que l'axiome du choix est bien connu pour être indécidable dans ZF [1]. D'où une contradiction. □
ZF ne prouve pas les énoncés :
Si l'énoncé était prouvable il serait vrai dans tout modèle de ZF. En l'appliquant à tout ensemble bien ordonnable et à qui est bien ordonnable, sachant que est équipotent à on obtient que satisfait le premier énoncé. Par le théorème de complétude, le premier énoncé serait prouvable dans ZF. Contradiction.
On peut appliquer le même raisonnement pour le dernier énoncé qui implique évidemment les deux autres. □
Cette étude a montré que les opérations simples sur des ensembles bien ordonnés n'assuraient pas la bonne ordonnabilité des nouveaux ensembles sans recours à l'axiome du choix, contrairement à ce que l'on aurait pu espérer après les résultats obtenus en [3]. Informellement, on perd la possibilité de transporter des bons ordres lorsque l'on considère un ensemble plus "gros". En particulier ceci montre qu'on ne peut espérer construire sans axiome du choix une exponentiation ordinale pour laquelle serait l'ordinal isomorphe à l'ensemble . C'est pourquoi la définition retenue [1] consiste à ne considèrer qu'une partie de cet ensemble sur laquelle on sait construire un bon ordre explicite...
