Proposition

Pour tout a ∈ ℝ \ {0, 1} on a :

\sum_{i = 0}^{n} a^{i} = \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1}

Démonstration

Pour n = 0, l'égalité est vérifiée, car

\sum_{i = 0}^{0} a^{i} = a^{0} = 1 = \frac{a^{0 + 1} - 1}{a - 1}

Supposons maintenant qu'elle soit vraie à l'ordre n - 1 et démontrons-la à l'ordre n :

\sum_{i = 0}^{n} a^{i} = \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{i} + a^{n} = \frac{a^{n} - 1}{a - 1} + a^{n} = \frac{a^{n} - 1 + a^{n + 1} - a^{n}}{a - 1} = \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1}

Cqfd.

Exemples d'application

Résolution d'une équation

X⁵ + X⁴ + X³ + X² + X + 1 = 0.
On cherche les 5 racines de l'équation dans le corps des complexes.
En admettant que 0 et 1 ne sont pas solutions (et on le vérifie facilement), on peut appliquer la formule, et on obtient :

\frac{X^{6} - 1}{X - 1} = 0

d'où X⁶ - 1 = 0 et X⁶ = 1.
Les 5 racines de l'équations sont donc des racines sixième de 1 :

1 solution réelle: -1 ( on rappelle que 1 ne peut pas être solution)
4 solution imaginaires.

Construction d'un masque de bits

On remarque que pour a = 2, on obtient

\sum_{i = 0}^{n} 2^{i} = 2^{n + 1} - 1

. Cela peut servir en programmation pour construire un masque de bits. C'est d'ailleurs à partir de ce cas particulier que j'ai découvert le cas général.

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : jeudi 5 août 2004