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Introduction

Le but de cette page est de présenter une notion d'une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe en supposant que cette famille est bien ordonnable. Ceci est possible si le nombre de sous-espace est fini ou que l'on admet l'axiome du choix. On verra que le premier cas est intéressant en pratique. Dans toute la suite, E est un espace vectoriel.

Rappels et adaptations

Famille à support fini

Si $\lambda$ est un ordinal, une famille ${\left(x_{\alpha }\right)}_{\alpha <\lambda }$de vecteurs de E est dite à support fini, si et seulement si l'ensemble $\left\{\alpha |\alpha <\lambda \wedge x_{\alpha }\ne 0\right\}$est fini.

On note $E^{\left(\lambda \right)}$l'ensemble des familles à support fini (obtenu par l'axiome de séparation sur $E^{\lambda }$).

On peut alors définir la somme des $x_{\alpha }$, notée $\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }$, avec des propriétés naturelles :

$\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }+y_{\alpha }=\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }+\sum _{\alpha <\lambda }{y}_{\alpha }$

$\sum _{\alpha <\lambda }{kx}_{\alpha }=k\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }$

Somme de sous-espaces vectoriels

Soit ${\left(F_{\alpha }\right)}_{\alpha <\lambda }$une famille de sous-espaces vectoriels de E. Le plus petit sous-espace vectoriel contenant les $F_{\alpha }$ s'appelle la somme des $F_{\alpha }$ et est noté$\sum _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha }$. On a alors :

$\sum _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha }=\left\{x\in E|\exists \left(x_{\alpha }\right)\in (E^{\left(\lambda \right)}\cap \prod _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha })x=\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }\right\}$

Etude de la notion de somme directe

Définition-Proposition

Soit ${\left(F_{\alpha }\right)}_{\alpha <\lambda }$une famille de sous-espaces vectoriels de E. On dit que ces sous-espaces sont en somme directe si et seulement si ils vérifient une des propriétés équivalentes suivantes :

1. $\forall \mu <\lambda (F_{\mu }\cap \sum _{\alpha <\lambda \wedge \alpha \ne \mu }{F}_{\alpha })=\left\{0\right\}$
2. $\forall \left(x_{\alpha }\right)\in (E^{\left(\lambda \right)}\cap \prod _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha })(\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }=0)\Rightarrow (\forall \alpha <\lambda x_{\alpha }=0)$
3. $\forall x\in \sum _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha }\exists !\left(x_{\alpha }\right)\in (E^{\left(\lambda \right)}\cap \prod _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha })x=\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }$
4. $\forall \mu <\lambda (F_{\mu }\cap \sum _{\alpha <\mu }{F}_{\alpha })=\left\{0\right\}$

Démonstration

Supposons que l'on est 2, et si pour un x donné, $\left(x_{\alpha }\right)$et $\left({x\text{'}}_{\alpha }\right)$sont deux suites convenant pour l'égalité du 3, alors

$\sum _{\alpha <\lambda }0=0=x-x=\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }-\sum _{\alpha <\lambda }{x\text{'}}_{\alpha }=\sum _{\alpha <\lambda }(x_{\alpha }-{x\text{'}}_{\alpha })$

donc $\forall \alpha <\lambda (x_{\alpha }-{x\text{'}}_{\alpha })=0$ c'est dire que les suites sont égales. Par conséquent $2\Rightarrow 3$

Supposons dorénavant 3 vérifié. et soit x élément de $(F_{\mu }\cap \sum _{\alpha <\lambda \wedge \alpha \ne \mu }{F}_{\alpha })$où $\mu <\lambda$

Alors pour tout $\alpha <\lambda$ tel que $\alpha \ne \mu$ posons $x_{\alpha }=0$, ainsi que $x_{\mu }=x$. On a bien $\left(x_{\alpha }\right)\in (E^{\left(\lambda \right)}\cap \prod _{\alpha <\lambda }{F}_{\alpha })$car $F_{\mu }$contient x par hypothèse.

De plus x comme est élément de $\sum _{\alpha <\lambda \wedge \alpha \ne \mu }{F}_{\alpha }$ il s'écrit aussi sous la forme $\sum _{\alpha <\lambda }{x\text{'}}_{\alpha }$ avec ${x\text{'}}_{\alpha }=0$.

En identifiant les coefficients, on trouve finalement $x=0$ d'où $3\Rightarrow 1$

$1\Rightarrow 4$ est immédiat.

Supposons maintenant 4 vérifié et soit $\left(x_{\alpha }\right)$est une famille vérifiant l'hypothèse de 2. Si la conclusion est fausse, alors l'ensemble d'ordinaux $\left\{\alpha |\alpha <\lambda \wedge x_{\alpha }\ne 0\right\}$est non vide et fini donc possède un plus grand élément $\mu$. Mais dans ce cas,

$0=\sum _{\alpha <\lambda }{x}_{\alpha }=\sum _{\alpha <\mu }{x}_{\alpha }+x_{\mu }$

d'où $x_{\mu }=\sum _{\alpha <\mu }{(-x}_{\alpha })$

On a donc d'après 4 $x_{\mu }$nul, ce qui est contradictoire.

Par conséquent,$(\forall \alpha <\lambda x_{\alpha }=0)$et finalement $4\Rightarrow 2$

Mise en pratique de la proposition

Les trois premières propriétés sont les transcriptions grâce à des ordinaux de la définition classique d'une somme directe d'une famille sous-espaces vectoriels indexée par un ensemble I. La dernière est intéressante lorsque l'on étudie une famille finie de sous-espaces (dans ce cas I est effectivement bien-ordonnable et on peut parler en terme d'ordinaux), puisqu'elle permet de simplifier les vérifications.

Par exemple si on souhaite montrer que F, G, H sont en somme directe par la propriété 1, on doit vérifier :

• $F\cap \left(G+H\right)=\left\{0\right\}$
• $G\cap \left(F+H\right)=\left\{0\right\}$
• $H\cap \left(F+G\right)=\left\{0\right\}$

Par la propriété 4, on a simplement :

• $G\cap F=\left\{0\right\}$
• $H\cap \left(F+G\right)=\left\{0\right\}$

Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : samedi 12 mai 2007