« Maths, Informatique, Jeux » - Terme général d'une suite u(n+1) = au(n) + b

Soient a, b des nombres réels et u une suite de nombres réels, de terme initiale u₀ ∈ ℝ et définie par la formule de récurrence u_{n + 1} = au_n + b. Alors on a :

Démonstration

Étudions d'abord les cas particuliers. Pour le premier cas avec a = 0 il est clair que l'on a l'égalité proposée. Notons d'ailleurs que si on admet que 0⁰ = 1, alors on a pas besoin de le séparer du 3ème cas. Pour le deuxième cas avec a = 1, alors la suite est arithmétique de raison b, ce qui explique la formule. Notons de plus que pour b = 0, la suite est géométrique de raison a.

Maintenant, si a est différent de 0 ou 1, on considère la suite v tel que pour tout entier naturel n, v_n = (a - 1) × u_n + b. Si il existe un entier n pour lequel on a v_n = 0 alors 0 = (a - 1)u_n + b ⇔ u_n =

\frac{- b}{a - 1}

. On montre alors par récurrence que tous les termes de la suite u sont égaux à

\frac{- b}{a - 1}

. En effet :

Par récurrence finie, pour p = 0, $u_{n - 0} = \frac{- b}{a - 1}$ , et pour tout p <n, si $u_{n - p} = \frac{- b}{a - 1}$ alors
$u_{n - (p + 1)} = \frac{\frac{- b}{a - 1} - b}{a} = \frac{- b - b (a - 1)}{a (a - 1)} = \frac{- b - ba + b}{a (a - 1)} = \frac{- b}{a - 1}$ .
Par récurrence, pour p = 0, $u_{n + 0} = \frac{- b}{a - 1}$ , et si $u_{n + p} = \frac{- b}{a - 1}$ alors $u_{n + (p + 1)} == \frac{- b}{a - 1} \times a + b = \frac{- ba + b (a - 1)}{a - 1} = \frac{- b}{a - 1}$ .

On peut remarquer que tous les termes de v sont alors nuls. De plus,

u_{0} = \frac{- b}{a - 1}

donc

((a - 1) u_{0} + b) a^{n} = 0

. par conséquent la 3ème formule est bien vérifiée.

Si aucun terme de v n'est nul, alors on peut montrer que cette suite est géométrique de raison a, puisque l'on a :

On en déduit la formule générale de v : v₀ = (a - 1)u₀ + b et v_n = v₀ aⁿ = [(a - 1)u₀ + b] aⁿ. Il ne nous reste plus qu'à reprendre la définition de v pour trouver le terme général de la suite u.

v_n = (a - 1) × u_n + b donc

u_{n} = \frac{v_{n} - b}{a - 1} = \frac{((a - 1) u_{0} + b) a^{n} - b}{a - 1}

. Et la proposition est démontrée.

Proposition

Démonstration