Notations mathématiques

Sommaire

Introduction

Objectifs de cette page

Cette page comporte plusieurs objectifs. Tout d'abord elle présente et explique la signification de quelques écritures mathématiques classiques, en particulier celles utilisées sur le site. Ainsi si une certaine notation vous paraît obsure, vous pourrez toujours venir chercher des informations sur cette page de référence. Ensuite elle expose les possibilités du MathML et aide à sa diffusion en encourageant les mathématiciens à utiliser des navigateurs capable de l'interpréter et à employer ce langage pour la rédaction de leurs articles web. Pour les auteurs de site mathématique qui l'utilisent déjà ou veulent l'utiliser, cette page est aussi un tutorial et une base de donnée. Enfin elle sert de « page test » pour connaitre les capacités d'un navigateur en terme d'affichage d'écritures mathématiques.

Les limites du HTML

Le MathML est un langage ayant pour objectif de combler les lacunes du langage HTML dans l'affichage de notations mathématiques. En effet, le HTML n'incorpore que des balises d'exposant et d'indice : des opérations aussi simple que racine ou fraction sont impossibles !

Cela a conduit les auteurs de site à utiliser des polices spéciales (mais cela pose des problèmes de compatibilité, puisque le lecteur doit possèder les polices) lorsqu'il n'y a pas de mise en page complexe ou dans le cas contraire des images (fichier volumineux, page plus longue à charger, non adaptées avec le texte environnant, difficultés d'impression de la page, impossibilité de zoomer, illisible pour les difficients visuels, impossibilité de copier/coller...) générés à partir d'un code source (La)TeX.

Certains pensent résoudre les problèmes de mise en page en utilisant du CSS, mais on est alors confronté à une difficulté d'édition et de plus on perd là la philosophie du "Web sémantique". Le principe est de faire en sorte que les documents web comportent assez d'informations pour pouvoir être compris et manipulés par les machines. On obtient alors de grands bénéfices comme une édition mathématique facilitée, des moteurs de recherche de formules, des synthétiseurs vocaux pour lire les formules aux personnes malvoyantes, une manipulation par les logiciels de calculs formels...

Pour ma part, quand j'ai commencé la partie maths du site le MathML n'était pas très répandu : seul Amaya pouvait le lire alors que presque tout le monde utilisait Internet Explorer. J'avais alors du créé un script php (voir nos programmes) permettant d'afficher des notations spéciales... Depuis la diffusion de Firefox, qui est capable d'interpréter le MathML, je suis revenu à ce langage pour l'affichage d'écritures mathématiques. Vous pouvez voir une page qui explique les raisons d'utiliser MathML (en).

Comment lire et utiliser le MathML ?

Les navigateurs et le MathML

Si vous avez un navigateur utilisant le moteur de rendu Gecko (comme Firefox) vous n'aurez qu'à installer des polices spéciales pour voir le contenu de cette page. Cette étape ne sera plus utile lorsque l'on disposera de polices mathématiques libres

Pour Internet Explorer, il faut télécharger un plugin, mais cela comporte beaucoup de désavantages : impossibilité de lire le XML, impossibilité de zoomer... Je vous recommande donc d'utiliser un navigateur comme Firefox.

Utiliser du MathML pour son site

MathML étant un langage XML, il faut utiliser un document XHTML. Cela implique des contraintes de rigueur syntaxique du code source. Il est cependant inutile de connaitre la syntaxe, puisque l'éditeur Amaya s'occupe de tout. Regardez toutefois la section sur la compatibilité des navigateurs dans la page d'aide math du logiciel...

Test MathML pour les développeurs

Je contribue au développement de l'éditeur du W3C Amaya en complétant son support de MathML et ses outils d'édition. J'ai réalisé un Test MathML (en) qui pourrait être utile aux développeurs.

Liste des symboles mathématiques

Voici une liste de symboles mathématiques et le code à utiliser pour les afficher sur une page web. Les codes numériques sont disponibles sur la page du W3C : Characters Ordered by Unicode (en). Souvent, il vaut mieux utiliser ces codes numériques pour les symboles spéciaux plutôt que les entités HTML qui risquent de stopper le chargement des pages xml lorsqu'elles ne sont pas reconnues.

Symbole du calcul propositionnel

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Négation logique¬¬ PNon PLa proposition P est fausse.
Disjonction logique∨A ∨ BA ou BUne des propositions A ou B est vraie, voir les deux.
Conjonction logique∧A ∧ BA et BLes propositions A et B sont toutes les deux vraies.
Symbole d'implication⇒A ⇒ BA implique B ; Si A alors B ; B est nécessaire à A ; A est suffisant pour BCe symbole est censé exprimer l'idée que A est vraie entraîne que B aussi. Si A est vraie, l'implication est donc vraie si B est vraie, et fausse sinon. Si A est fausse, on prend pour convention que l'implication est toujours vraie.
Symbole d'équivalence⇔A ⇔ B ; A ssi BA équivaut à B ; A si et seulement si BIl s'agit d'une implication dans les deux sens : A implique B et B implique A.

Quantificateurs

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Quantificateur universel∀∀x P(x)Quel que soit x ; pour tout x...La propriété P(x) est vérifiée pour tout x.
Quantificateur existentiel∃∃x P(x)Il existe x tel que...La propriété P(x) est vérifiée pour au moins un x.

Relation entre ensemble

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Symbole d'appartenance∈x ∈ Ex appartient à E ; x est élément de E ; E contient xPour un ensemble E donné, ce symbole signifie qu'il contient l'élément x.
Symbole de non-appartenance∉x ∉ Ex n'appartient pas à ENégation de l'appartenance de x à E.
Symbole d'inclusion⊂A ⊂ BA est inclus dans B ; A est un sous-ensemble de B ; A est une partie de B ; B contient APour deux ensembles A et B donnés, ce symbole signifie que tous les éléments de A sont éléments de B.
Symbole de non-inclusion⊄A ⊄ BA n'est pas inclus dans BNégation de l'inclusion de A dans B, c'est-à-dire qu'il existe au moins un élément de A qui n'appartient pas à B.

Ensembles de base et opérations ensemblistes

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Ensemble vide∅∅ ; {}Ensemble videEnsemble qui ne comporte aucun élément.
Singleton, paire, ensembles finis Au clavier{x} ; {x, y} ; {x1, x2 ... xn}Singleton x ; Paire x y ; Ensemble x1, x2... xnEnsemble dont l'unique élément est x ; dont les seuls éléments sont x et y ; dont les n éléments sont x1, x2 ... xn.
Couple, Triplet, n-uplet Au clavier(x, y) ; (x, y, z) ; (x1, x2 ... xn)Couple x y ; Triplet x y z ; n-uplet x1, x2 ... xn.Représentation d'une collection d'objets occupant chacun une place précise, au sens où contrairement à un ensemble finis, l'ordre et la répétition des objets n'est pas anodine.
Ensemble des parties℘℘(E)Ensembles des parties de EPour un ensemble E donné, il s'agit de l'ensemble dont les éléments sont tous les sous-ensembles de E.
Réunion⋃A ⋃ BA union B ; réunion de A et BEnsemble contenant les éléments de A ou B et seulement ceux-là.
Intersection⋂A ⋂ BA inter B ; intersection de A et BEnsemble contenant les éléments en communs de A et B et seulement ceux-là.
Différence ensembliste Au clavierA \ BA privé de BEnsemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B
Complémentaire∁E A ; ∁AComplémentaire de A (dans E)Pour E est un ensemble de référence et A un sous-ensemble de E, il s'agit de E \ A. On peut aussi omettre le E en indice lorsque l'on sait quel est l'ensemble de référence. On le note aussi A¯.
Produit cartésien×A × BProduit cartésien de A par B ; A fois BEnsemble dont les éléments sont les couples dont le premier objet est dans A et le second dans B.

Représentation d'ordinaux et de cardinaux infinis

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Aleph&#x02135;0 ; ℵαAleph zéro ; Aleph alphaSymbole représentant le cardinal des ensembles infinis c'est-à-dire leur « taille ». ℵ0 est le cardinal des ensembles dénombrables, c'est-à-dire en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. Les autres alephs sont définies par induction ordinale : pour un ordinal α, ℵα + 1 est le successeur de ℵα tandis que pour un ordinal λ limite, ℵλ est la borne supérieur des ℵα avec α < λ.
Omega&#x003c9;ω0 ; ωαOmega zéro ; Omega alphaPlus petit ordinal (infini) de cardinalité ωα. En plus de la « taille de l'ensemble » la notion d'ordinal tient compte de la « manière dont est rangé l'ensemble » et est définie comme l'unique ensemble transitif bien ordonné par la relation d'appartenance auquel il est isomorphe.

Fonctions/Application

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Ensemble des applications&#x02131;ℱ(E, F)f de E dans FSi E et F sont deux ensembles, il s'agit de l'ensemble des applications de E dans F.
Image Au clavierf(x)f de xImage de x par f.
Flèche&#x02192;f : E → Ff est une fonction de E dans FIl s'agit de la définition
Flèche à talon&#x021a6;x ↦ f(x)qui à tout x associe f de xd'une fonction. Utiliser le MathML pour une meilleur présentation.

Ensembles de nombres

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Ensembles des entiers naturels&#x02115;NEnsemble des nombres entiers positifs {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... }
Ensembles des entiers relatifs&#x02124;ZEnsemble des nombres entiers (positifs ou négatifs) {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Ensembles des nombres rationnels&#x0211a;QEnsemble des fractions, c'est-à-dire de la forme pq avec p,q ℚ ℚ et q non nul.
Ensembles des nombres réels&#x0211d;REnsemble des nombres réels, c'est-à-dire limite finie d'une suite de rationnels. On peut se représenter géométriquement cet ensemble comme une droite : si on la munie d'une origine, chaque réel est l'abscisse d'un certain point (et réciproquement).
Ensemble des nombres complexes&#x02102;CEnsemble des nombres complexes, c'est-à-dire de la forme a + ib avec a,b ∈ ℂ et i un nouveau nombre que l'on pose tel que i2 = -1. La encore il existe une représentation géométrique, sous forme d'un plan muni d'un repère orthonormé : à chaque complexe a + ib on associe le point de coordonnées (a, b).

Opérations numériques

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Addition Au clavierx + yx plus ySomme de x et y.
Opposé ; Soustraction&#x02212;−x ; x − ymoins x ; x moins yL'opposé de x est le nombre qui ajouté à x donne 0. Effectuer la différence x − y revient à additionner x par l'opposé de y. On peut aussi utiliser le symbole « - » du clavier.
Produit&#x000d7;x × yx fois yProduit de x et y.
Inverse cf paragraphe notationx-1inverse de x ; x (puissance) moins unPour x non nul, il s'agit du nombre qui multiplié par x donne 1. On peut aussi utiliser la notation fractionnaire avec 1 pour numérateur et x pour dénominateur.
Division&#x000f7;x ÷ yx divisé par yDivision de x par y (y non nul). Il s'agit du produit de x par l'inverse de y. En général on utilise la notation fractionnaire, qui peut être rendu en MathML par la balise frac.
Factorielle Au claviern!factorielle nPour un nombre entier naturel n, il s'agit du produit 1 × 2 × 3 ... × n. Pour n = 0, on prend pour convention 0! = 1
Puissance cf paragraphe notationx2 ; x3 ; xyx au carré ; x au cube ; x puissance yPour x donné, x au carré est le produit x × x, x au cube le produit x × x × x, et pour n entier naturel non nul, x puissance n est le produit x × x × ... × x où x est écrit n fois. On prend pour convention x0 = 1 pour tout x non nul. Parfois on étend cela en posant 00 = 1. Si x est non nul et n est un entier strictement négatif, xn est l'inverse de xn (ce qui justifie l'écriture x-1 pour l'inverse d'un nombre). Les fonctions exponentielle et logarithme permettent de prolonger l'opération puissance pour tout réel x strictement positif et tout exposant y : xy = exp(ln(x) × y). On peut utiliser les balises sup ou msup.
Radical&#x0221a;√x ; 3√x ; n√xracine carré de x ; racine cubique de x ; racine n-ième de xPour un nombre réel positif, la racine carré de x est le nombre positif qui élevé au carré donne x. De même pour la racine cubique de x il s'agit du nombre y tel que y3 = x. Notons alors que dans ce cas x peut aussi être négatif. D'une manière générale, si n est un entier naturel non nul, la racine n-ième est définie pour tout réel x si n est impair et pour tout réel positif si n est pair. Il s'agit du nombre y du signe de x tel que yn = x. Si vous codez en MathML, il est cependant préférable d'utiliser les balises msqrt ou mroot plutôt que le code du symbole.
Valeur absolue ; Module Au clavier|x| ; |z|valeur absolue de x ; module de zPour x un réel, sa valeur absolue vaut x si x est positif et -x dans le cas contraire. On étend cela pour un nombre complexe z = a + ib en définissant le module de z par a2+b2.
Conjuguaison cf paragraphe notationz-conjugué de z ; z barrePour un nombre complexe z = a + ib, on définit le conjugué de z comme le complexe a - ib. On doit utiliser du MathML ou du css pour obtenir ce rendu.

Symboles d'égalité et d'inégalité

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Egalité Au clavierx = yx égal yExprime le fait que les objets x et y sont identiques.
Non-égalite&#x02260;x ≠ yx n'est pas égal à y ; x est différent de yNégation de l'égalité entre x et y.
Environ égal&#x02243;13 ≃ 0,333x est environ égal à yUtilisé pour lors d'applications numériques pour signifier que l'on effectue un arrondi.
Inférieur à&#x02264;x ≤ yx inférieur à y ; x plus petit que y ; x inférieur ou égal à y ; x plus petit ou égal à yUtilisé pour représenter une relation d'ordre sur un ensemble, par exemple de nombres réels. Un ordre correspond à un « rangement » et ce symbole signifie que l'on « range » x avant y.
Strictement inférieur à <x < yx strictement inférieur à y ; x strictement plus petit que yIdem mais on demande de plus que x et y ne soient pas égaux.
Supérieur à&#x02265;x ≥ yx supérieur à y ; x plus grand que y ; x supérieur ou égal à y ; x plus grand ou égal à yIdem en inversant l'ordre.
Strictement supérieur à >x > yx strictement supérieur à y ; x strictement plus grand que yIdem en inversant l'ordre et en prenant x et y distincts.
Symbole de congruence&#x02261;x ≡ y mod a ; x ≡ y [a]x est congru à y modulo aPour deux nombres réels x, y et a, cela signfie qu'il existe un entier relatif k tel que x = y + ak. Cela est en particulier utilisé avec a multiple de ≡, ou en arithmétique en prenant x, y et a entiers.
Isomorphe&#x02245;(A, a) ≅ (B, b) ; A ≅ BA muni de a est isomorphe à B muni de b ; A est isomorphe à BPour deux ensembles A et B muni de structure (algébrique, d'ordre...) a et b, cela signifie qu'il existe une bijection de A dans B qui permette de conserver les propriétés de la structure par passage biunivoque entre A à B au sens où toutes propositions ne mettant en jeu que la structure a et des éléments de A, à la même valeur de vérité en remplaçant A par B et a par b (et réciproquement). Ainsi même si A et B sont distincts, ils sont cependant « égaux » au sens de la structure considérée, et on peut indifféremment travailler avec l'un où l'autre.

Analyse

Nom du symboleCode pour l'afficherExemple d'utilisationComment le lireExplication sommaire
Intégrale&#x0222b;∫ f(x) dxintégrale (pour x allant de borne inférieure à borne supérieure) de F de x D x Pour f fonction intégrable (par exemple continue), il s'agit d'une primitive de f (on peut avoir plus de précision avec les bornes), c'est-à-dire une fonction qui a pour dérivée f. Il est conseillé d'utiliser la balise MathML msubsup si on veut indiquer les bornes.
Infini&#x0221e;]-∞ ; +∞[ ;l'intervalle moins l'infini plus l'infiniÉléments ajoutés à l'ensemble des réels avec pour propriété d'être plus grand (respectivement plus petit) que tous les réels. En plus de l'ordre, on prolonge aussi les opérations + et ×. Ils interviennent dans l'écriture d'intervalles de réels et dans le calcul de limite d'une suite ou d'une fonction.
Flèche&#x02192;x → x0 ; f(x) → Lx tend vers LPour x0 et L des constantes (pouvant être infinies), x une variable et f(x) une fonction dépendant de x, la première partie signifie que l'on fait tendre x vers x0 (on « le rapproche de plus en plus ») et la deuxième partie signifie qu'en conséquence f(x) tend vers la limite L. Là encore pour un rendu complet de l'écriture, il vaut mieux utiliser du MathML.
Cette page est conforme aux normes du W3C - Auteur : Frédéric WANG - Dernière mise à jour : mercredi 11 juillet 2007
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